Test del primer parcial 2017-2018 (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Momentos de un vector
2 Velocidad dependiente de x
3 Triedro de Frenet
4 Rapidez con incertidumbre
5 Velocidad media de dos tramos
6 Distancia dentro de un cubo

1 Momentos de un vector

Un vector $\vec{v}$ está aplicado en el punto P. Se conocen sus momentos $\vec{M}_O$ respecto a un punto O y $\vec{M}_A$ respecto a un punto A. Si $\vec{M}_A=\vec{M}_O$ se cumple que…

A $\overrightarrow{OP}$ es paralelo a $\vec{v}$ .
B $\overrightarrow{AP}$ es paralelo a $\vec{v}$ .
C $\overrightarrow{OA}$ es paralelo a $\vec{v}$ .
D $\overrightarrow{OP}$ es paralelo a $\overrightarrow{AP}$ .

Solución

La respuesta correcta es la C.

La relación entre los momentos respecto a dos puntos diferentes es

$\vec{M}_A=\vec{M}_O+\vec{v}\times\overrightarrow{OA}$

Si son iguales

$\vec{M}_A=\vec{M}_O \qquad\Rightarrow\qquad\vec{v}\times\overrightarrow{OA}=\vec{0}$

y por tanto $\overrightarrow{OA}$ es paralelo a $\vec{v}$

2 Velocidad dependiente de x

Una partícula se mueve a lo largo de la recta OX cumpliéndose en todo momento

$v=A\sqrt{b^2-x^2}$

con A y b dos constantes positivas. La partícula se halla inicialmente en $x = 0$ .

2.1 Pregunta 1

¿En qué unidades se mide A en el sistema internacional?

A m/s.
B 1/s.
C m²/s.
D m³/s

Solución

La respuesta correcta es la B.

Por homogeneidad dimensional

$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=[A]\sqrt{\mathrm{m}^2}\qquad\Rightarrow\qquad [A]=\frac{1}{\mathrm{s}}$

2.2 Pregunta 2

¿Cuánto vale la aceleración de la partícula como función de x?

A $a=-A^2x\,$ .
B No hay información suficiente para determinarla.
C $a=0\,$
D $a=-Ax/\sqrt{b^2-x^2}$ .

Solución

La respuesta correcta es la A.

Se deriva respecto al tiempo aplicando la regla de la cadena

$a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,\overbrace{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}^{=v}=\frac{-Ax}{\sqrt{b^2-x^2}}A\sqrt{b^2-x^2}=-A^2x$

Equivalentemente se puede hallar como

$a=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{2}v^2\right)=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}\left(\frac{A^2(b^2-x^2)}{2}\right)=-A^2x$

2.3 Pregunta 3

¿Cuál es la posición de la partícula como función del tiempo, para todo t?

A $x=0\,$ .
B No hay información suficiente para determinarla.
C $x=b\,\mathrm{sen}(At)$
D $x=A b t\,$ .

Solución

La respuesta correcta es la C.

De acuerdo con la pregunta anterior, la partícula cumple la ecuación del oscilador armonico

$a=-\omega^2 x\qquad\qquad\mbox{con}\qquad\omega = A\,$

y la solución es de la forma

$x = x_0\cos(A t)+\frac{v_{x0}}{A}\mathrm{sen}(A t)$

En este caso

$x_0=0\qquad\qquad v_0=A\sqrt{b^2-0^2}=Ab$

y queda

$x=b\,\mathrm{sen}(At)$

También puede hacerse sustituyendo las diferentes opciones en la ecuación para la velocidad, o integrando

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=A\sqrt{b^2-x^2}\qquad\Rightarrow\qquad \int_0^x\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{b^2-x^2}}=A\int_0^t\mathrm{d}t$

3 Triedro de Frenet

¿Cuál de las siguientes figuras representa correctamente la orientación de los vectores del triedro de Frenet (⊙: hacia afuera del papel; ⊗ hacia adentro del papel)?


A	B

C	D

Solución

La respuesta correcta es la D.

El vector normal $\vec{N}$ está contenido en el plano del movimiento y dirigido hacia el interior de la curva, lo cual nos deja con las opciones B y D.

El vector binormal cumple la regla de la mano derecha respecto a $\vec{T}$ y $\vec{N}$

$\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}$

por lo que el binormal debe ir hacia adentro y la respuesta es la D.

4 Rapidez con incertidumbre

Se miden las componentes de una velocidad, con sus respectivas incertidumbres y resulta la cantidad $\vec{v}=(3.0(1)\vec{\imath}-4.0(1)\vec{\jmath}-8.0(1)\vec{k}) \mathrm{m}/\mathrm{s}$ . ¿Cuánto vale la rapidez del movimiento?

A 9.43(16)m/s
B 89(3)m/s.
C 89.0(1)m/s.
D 9.43398(1)m/s.

Solución

La respuesta correcta es la A.

Podemos estimar la medida y su incertidumbre tomando los valores mínimo y máximo para cada componente. Así queda

$|\vec{v}|_\mathrm{min}=\sqrt{2.9^2+3.9^2+7.9^2}=9.27524\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

y

$|\vec{v}|_\mathrm{max}=\sqrt{3.1^2+4.1^2+8.1^2}=9.59323\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

La medida sería la media de estas dos

$|\vec{v}|=\frac{|\vec{v}|_\mathrm{min}+|\vec{v}|_\mathrm{max}}{2}=9.43423\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

y su incertidumbre la mitad de la diferencia

$E_v=\frac{|\vec{v}|_\mathrm{max}-|\vec{v}|_\mathrm{min}}{2}=0.158995\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Redondeando queda

$|\vec{v}|=9.43(16)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

También se puede llegar por eliminación, ya que no puede ser ni la B ni la C, y la D tiene un número excesivo de cifras significativas.

5 Velocidad media de dos tramos

Una partícula en movimiento rectilíneo recorre la primera mitad de la distancia con velocidad $v 1$ y la segunda mitad con $v 2$ , siempre en el mismo sentido. La velocidad media del trayecto es…