Esfera rodando sin deslizar en un recipiente cilíndrico, F1GIA 2016-17
De Laplace
(Página creada con '=Enunciado= 400px Una esfera de radio <math>R</math> (sólido "2") se mueve en el interior de un recipiente cilíndrico de radio <m…') |
(→Cálculo de diferencias de aceleraciones) |
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\vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = | \vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = | ||
- | \left.\dfrac{\mathrm{d}\Omega\,\vec{k}_1}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0} | + | \left.\dfrac{\mathrm{d}(\Omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0} |
\qquad | \qquad | ||
\vec{a}^{\,O}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = | \vec{a}^{\,O}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = | ||
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+ | Calculamos la derivada del vector rotación, utilizando la fórmula de Poisson | ||
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+ | + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{21}= | ||
+ | -\Omega^2\,\vec{\jmath}_0. | ||
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+ | El punto <math>I</math> está siempre en el eje <math>\Delta_{21}</math>, por tanto su velocidad es siempre nula. Entonces | ||
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+ | \vec{a}^{\,I}_{21} = \vec{0}. | ||
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+ | El movimiento es una rotación pura de eje instantáneo. El eje <math>\Delta_{21}</math> se mueve respecto al sólido "1". | ||
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+ | === Movimiento {20} === | ||
+ | Usamos las leyes de composición del movimiento {21}={20}+{01} | ||
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+ | \vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} = -\Omega\,(\vec{\imath}_0+2\vec{k}_0) | ||
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+ | Una posible reducción cinemática es | ||
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+ | \vec{v}^{\,C}_{20} = \vec{0}. | ||
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+ | El movimiento es una rotación pura de eje permanente, pues el eje <math>\Delta_{20}</math> pasa siempre por los mismos puntos del sólido "0". | ||
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+ | == Pivotamiento y rodadura == | ||
+ | En un punto dado el pivotamiento viene dado por la componente perpendicular a la superficie del vector rotación. En el punto <math>A</math> el vector normal es <math>\vec{n}_A = \vec{k}_0</math>, mientras que en el punto <math>B</math> es <math>\vec{n}_B=\vec{\imath}_0</math>. Entonces | ||
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+ | A & \to & \vec{\omega}_{\mathrm{piv}} = -\Omega\,\vec{k}_0, & \vec{\omega}_{\mathrm{rod}} = -\Omega\,\vec{\imath}_0,\\ | ||
+ | B & \to & \vec{\omega}_{\mathrm{piv}} = -\Omega\,\vec{\imath}_0, & \vec{\omega}_{\mathrm{rod}} = -\Omega\,\vec{k}_0. | ||
+ | \end{array} | ||
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+ | == Cálculo de diferencias de aceleraciones == | ||
+ | Usamos en cada caso la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento correspondiente. Para el primer caso | ||
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+ | \vec{a}^{\,A}_{21} - \vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BA} + \vec{\omega}_{21}\times(\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BA}) | ||
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+ | El segundo término es nulo pues <math>\overrightarrow{BA} \parallel \vec{\omega}_{21}</math>. El vector geométrico es | ||
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+ | Entonces | ||
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+ | \vec{a}^{\,A}_{21} - \vec{a}^{\,B}_{21} = R\Omega^2(\vec{\imath}_0 - \vec{k}_0). | ||
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+ | Para el otro caso | ||
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+ | \vec{a}^{\,A}_{20} - \vec{a}^{\,B}_{20} = \vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{BA} + \vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{BA}) | ||
+ | </math> | ||
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+ | Ahora el primer término es nulo, pues <math>\vec{\alpha}_{20}=\vec{0}</math>. Operando llegamos a | ||
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+ | \vec{a}^{\,A}_{20} - \vec{a}^{\,B}_{20} = R\Omega^2(2\vec{\imath}_0 - \vec{k}_0). | ||
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+ | [[Categoría:Problemas de examen F1 GIA]] | ||
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+ | [[Categoría:Problemas de Movimiento Relativo F1 GIA]] |
última version al 12:32 15 oct 2018
Contenido |
1 Enunciado
Una esfera de radio R (sólido "2") se mueve en el interior de un recipiente cilíndrico de radio 2R (sólido "1"). El movimiento es tal que, en todo momento, la esfera rueda sin deslizar en los dos puntos A y B en contacto con la superficie cilíndrica (ver figura). El centro C de la esfera realiza un movimiento circular uniforme. Introducimos un sólido intermedio OX0Y0Z0, de modo que el eje OZ0 coincide en todo instante con OZ1, y el plano OX0Z0 contiene siempre al centro de la esfera C. Este plano gira alrededor de OZ0, en sentido antihorario y con velocidad angular constante Ω.
- Obtenga reducciones cinemáticas de todos los movimientos relativos {01}, {20} y {21}, así como sus derivadas instantáneas. Indique que tipo de movimiento son.
- ¿Cómo son los movimientos de pivotamiento y rodadura del sólido "2" respecto del "1" en los puntos que ocupan las posiciones de contacto A y B?.
- Calcula
y
.
2 Solución
2.1 Análisis de la información cinemática en el enunciado
La esfera no desliza en los puntos A y B, por tanto
Entonces
El plano OX0Z0 realiza una rotación de eje permanente con velocidad angular constante. Entonces
y además
El punto C es un punto fijo común de la esfera y el sólido "0". Por tanto
Como se ve en la figura de la derecha. los ejes Δ21 y Δ01 se cortan en el punto I. Entonces . Y por tanto
2.2 Reducciones cinemáticas
2.2.1 Movimiento {01}
Tenemos
La velocidad de este movimiento es cero en cualquier punto del eje OZ0. La derivada temporal es
Es una rotación de eje permanente. Por eso la velocidad y aceleración de todos los puntos del eje es nula en todo instante.
2.2.2 Movimiento {21}
Sabemos que , entonces
La velocidad en A es
Y en el centro de la esfera es
Por otro lado,
Comparando obtenemos
Una reducción cinemática es
Calculamos la derivada del vector rotación, utilizando la fórmula de Poisson
El punto I está siempre en el eje Δ21, por tanto su velocidad es siempre nula. Entonces
El movimiento es una rotación pura de eje instantáneo. El eje Δ21 se mueve respecto al sólido "1".
2.2.3 Movimiento {20}
Usamos las leyes de composición del movimiento {21}={20}+{01}
Una posible reducción cinemática es
Derivamos el vector rotación
Y
El movimiento es una rotación pura de eje permanente, pues el eje Δ20 pasa siempre por los mismos puntos del sólido "0".
2.3 Pivotamiento y rodadura
En un punto dado el pivotamiento viene dado por la componente perpendicular a la superficie del vector rotación. En el punto A el vector normal es , mientras que en el punto B es
. Entonces
2.4 Cálculo de diferencias de aceleraciones
Usamos en cada caso la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento correspondiente. Para el primer caso
El segundo término es nulo pues . El vector geométrico es
Entonces
Para el otro caso
Ahora el primer término es nulo, pues . Operando llegamos a