Dos discos articulados en un eje

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 14:18 27 nov 2016

1 Enunciado

Dos discos delgados, ambos de masa $m$ y radio $r$ , están conectados por un eje delgado de masa $m 0$ y longitud $b$ . Los discos pueden rodar sin deslizar por el plano OXY. El eje está articulado en dos rodamientos, de forma que las dos ruedas pueden girar libremente en torno a él.

Determine la energía cinética del sistema en función de la velocidad del CM del conjunto y de la velocidad angular $\dot{θ}$ con la que gira la barra en torno a un eje vertical.
Suponga que, estando en reposo el sistema con el eje alineado con el OX y el punto de contacto de uno de los discos situado en el origen se aplica una percusión $\vec{P}$ horizontal y perpendicular a la barra a una distancia $c$ de su centro. Determine el movimiento del sistema a partir de ese momento

2 Resultados

Cantidad de movimiento

$\vec{p}=(m_0+2m)v_G\vec{\jmath}_0$

Siendo la base $\{\vec{\imath}_0,\vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}$ una ligada al eje, con el $O X 0$ a lo largo de él, y el $O Z 0$ perpendicular al plano de movimiento.

$v G$ se relaciona con las coordenadas como

$v_G=-\dot{x}\,\mathrm{sen}(\theta)+\dot{y}\cos(\theta)$

Momento cinético respecto al CM

$\vec{L}_G=(-mrv_G)\vec{\imath}_0+\left(\frac{m_0b^2}{12}+\frac{m(b^2+r^2)}{2}\right)\dot{\theta}\vec{k}_0$

Energía cinética

$T=\frac{1}{2}(m_0+3m)v_G^2 +\frac{1}{2}\left(\frac{m_0b^2}{12}+\frac{m(3b^2+2r^2)}{4}\right)\dot{\theta}^2$

Velocidad del CM tras la percusión

$\vec{v}^G_{01}=v_G\vec{\jmath}_0=\frac{P}{m_0+3m}\vec{\jmath}_0$

Velocidad angular del eje tras la percusión

$\dot{\theta}=\frac{12 c P}{m_0 b^2+ m(9 b^2+6r^2)}$

Tras la percusión, ambas cantidades permanecen constantes.

@@ Línea 19: / Línea 19: @@
 ;Momento cinético respecto al CM
-<center><math>\vec{L}_G=(-mrv_G)\vec{\imath}_0+\frac{m_0b^2+6m(b^2+r^2)}{12}\dot{\theta}\vec{k}_0</math></center>
+<center><math>\vec{L}_G=(-mrv_G)\vec{\imath}_0+\left(\frac{m_0b^2}{12}+\frac{m(b^2+r^2)}{2}\right)\dot{\theta}\vec{k}_0</math></center>
 ;Energía cinética:
@@ Línea 26: / Línea 26: @@
 ;Velocidad del CM tras la percusión
+<center><math>\vec{v}^G_{01}=v_G\vec{\jmath}_0=\frac{P}{m_0+3m}\vec{\jmath}_0</math></center>
+;Velocidad angular del eje tras la percusión
+<center><math>\dot{\theta}=\frac{12 c P}{m_0 b^2+ m(9 b^2+6r^2)}</math></center>
+Tras la percusión, ambas cantidades permanecen constantes.

Dos discos articulados en un eje

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