No Boletín - Dos varillas (Ex.Ene/16)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 12:56 16 mar 2016

Contenido

1 Enunciado
2 Velocidad angular del movimiento {20}
3 Velocidad {20} del punto O
4 Vector de posición del C.I.R. del movimiento {20}

1 Enunciado

El sistema mecánico de la figura está constituido por dos varillas móviles, $\,AB\,$ (sólido "2") y $\,OD\,$ (sólido "0"), ambas de grosor despreciable e igual longitud $\,2a,\,$ y contenidas siempre en el plano fijo $\,OXY\,$ (sólido "1"). Cada varilla se encuentra articulada en un punto fijo: la primera en su centro $\,C(a,0)\,$ y la segunda en su extremo $\,O(0,0).\,$ Además, ambas varillas se mueven vinculadas entre sí porque la varilla $\,OD\,$ posee una acanaladura longitudinal por la cual desliza el extremo $\,A\,$ de la varilla $\,AB.\,$ Se utiliza el ángulo $\,\theta ,\,$ formado por la varilla $\,AB\,$ y el eje $\,OX,\,$ como parámetro descriptivo del movimiento del sistema.

Nota: Obsérvese que, con ayuda del triángulo isósceles $\,OAC\,$ de la figura, se puede determinar (en función de $\,\theta\,$ ) el ángulo formado por la varilla $\,OD\,$ y el eje $\,OX,\,$ o también el ángulo formado por ambas varillas.

Determine las siguientes magnitudes:

Velocidad angular $\,\vec{\omega}_{20}\,$
Velocidad $\,\vec{v}^{\,\, O} _{20}\,$
Vector de posición $\,\overrightarrow{OI_{20}}\,$ del centro instantáneo de rotación del movimiento $\,\{20\}\,$

2 Velocidad angular del movimiento {20}

Exigiendo que la suma de todos los ángulos internos del triángulo isósceles $\,OAC\,$ sea $\,\pi\,$ radianes, determinamos el ángulo $\,\beta\,$ (en color azul en la figura adjunta) que forman ambas varillas entre sí:

$2\,\beta+\theta=\pi\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, \beta=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}$

Al ser $\,\beta\,$ el ángulo que forma la varilla $\,AB\,$ (sólido "2") con respecto a la varilla $\,OD\,$ (sólido "0"), la velocidad angular $\,\vec{\omega}_{20}\,$ puede expresarse así:

$\vec{\omega}_{20}=-\,\dot{\beta}\,\vec{k}$

donde el signo negativo se justifica mediante el siguiente razonamiento: si el ángulo $\,\beta\,$ que forma la varilla "2" respecto a la varilla "0" aumenta ( $\dot{\beta}>0\,$ ), la rotación $\{20\}\,$ es horaria ( $\,\vec{\omega}_{20}\cdot\vec{k}<0$ ). Ampliando este razonamiento a la situación inversa, podemos resumir la justificación del signo negativo en la necesidad de garantizar las siguientes correspondencias:

$\mathrm{si}\,\,\,\dot{\beta}>0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}\cdot\vec{k}<0 \,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{si}\,\,\,\dot{\beta}<0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}\cdot\vec{k}>0$

Sustituyendo la expresión de $\,\beta\,$ obtenida al principio, determinamos $\,\vec{\omega}_{20}\,$ :

$\vec{\omega}_{20}=-\,\dot{\beta}\,\vec{k}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\dot{\theta}}{2}\,\vec{k}$

3 Velocidad {20} del punto O

Empezaremos calculando la velocidad $\vec{v}^{\,\, O}_{21}\,$ , y para ello vamos a determinar previamente la reducción cinemática $\{21\}\,$ en el punto $\,C\,$ . Elegimos $\,C\,$ como centro de reducción $\{21\}\,$ porque la varilla "2" se halla articulada en dicho punto, y por tanto $\,C\,$ es un punto fijo en el movimiento $\{21\}\,$ :

$\vec{v}^{\,\, C}_{21}=\vec{0}$

Al ser $\,\theta\,$ el ángulo que forma la varilla $\,AB\,$ (sólido "2") con respecto al eje $\,OX\,$ (sólido "1"), la velocidad angular $\,\vec{\omega}_{21}\,$ puede expresarse así:

$\vec{\omega}_{21}=\dot{\theta}\,\vec{k}$

donde el signo positivo (que se omite) delante de $\,\dot{\theta}\,$ se justifica mediante el siguiente razonamiento: si el ángulo $\,\theta\,$ que forma la varilla "2" con respecto al eje $\,OX\,$ del sólido "1" aumenta ( $\dot{\theta}>0\,$ ), la rotación $\{21\}\,$ es antihoraria ( $\,\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{k}>0$ ). Ampliando este razonamiento a la situación inversa, cabe resumir la justificación del signo positivo en la necesidad de garantizar las siguientes correspondencias:

$\mathrm{si}\,\,\,\dot{\theta}>0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{k}>0\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{si}\,\,\,\dot{\theta}<0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{k}<0$

Conocida la reducción cinemática $\{\vec{\omega}_{21}\,; \vec{v}^{\,\, C}_{21}\}$ , ya podemos calcular la velocidad $\vec{v}^{\,\, O}_{21}\,$ mediante la ecuación del campo de velocidades $\{21\}\,$ :

$\vec{v}^{\,\, O}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\,\, C}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CO}=\dot{\theta}\,\vec{k}\times(-\,a\,\vec{\imath}\,\,)=-\,a\dot{\theta}\,\vec{\jmath}$

Por otra parte, el punto $\,O\,$ es un punto fijo en el movimiento $\{01\}\,$ porque la varilla "0" se halla articulada en él:

$\vec{v}^{\,\, O}_{01}=\vec{0}$

Conocidas las velocidades $\vec{v}^{\,\, O}_{21}\,$ y $\vec{v}^{\,\, O}_{01}\,$ , la ley de composición de velocidades nos permite determinar la velocidad $\vec{v}^{\,\, O}_{20}\,$ :

$\vec{v}^{\,\, O}_{21}=\vec{v}^{\,\, O}_{20}+\,\vec{v}^{\,\, O}_{01}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, \vec{v}^{\,\, O}_{20}=\vec{v}^{\,\, O}_{21}\!-\underbrace{\vec{v}^{\,\, O}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}=-\,a\dot{\theta}\,\vec{\jmath}$

4 Vector de posición del C.I.R. del movimiento {20}

La posición del centro instantáneo de rotación $I_{20}\,$ respecto al origen de coordenadas $O\,$ se puede determinar ANALÍTICAMENTE mediante la fórmula:

$\overrightarrow{OI_{20}}=\frac{\vec{\omega}_{20}\times\vec{v}^{\,\, O}_{20}}{|\,\vec{\omega}_{20}|^{2}}=2a\,\vec{\imath}$

El vector de posición $\overrightarrow{OI_{20}}\,$ obtenido es constante (no depende del parámetro $\theta\,$ descriptivo del movimiento del sistema). Por tanto, $I_{20}\,$ es en realidad un centro permanente de rotación.

También es posible determinar la posición de $I_{20}\,$ GRÁFICAMENTE.

Para ello, localizamos primero los centros permanentes de rotación $I_{21}\,$ e $I_{01}\,$ , que coinciden con los puntos de articulación de las varillas "2" y "0", respectivamente:

$I_{21}\equiv C\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,I_{01}\equiv O$

En cuanto al movimiento $\{20\}\!\!\,$ , se nos indica que el extremo $A\,$ de la varilla "2" está obligado a recorrer la acanaladura longitudinal de la varilla "0", lo cual nos permite saber que la velocidad $\vec{v}^{\, A}_{20}\,$ es necesariamente colineal con la propia varilla "0". Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto $A\,$ y trazando la recta que pasa por los puntos $\,I_{01}\,$ e $\,I_{21}\,$ (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto $\,I_{20}\,$ en la intersección de ambas rectas:

$\left.\begin{array}{r} \vec{v}_{20}^{A}\perp\overrightarrow{I_{20}A} \\ \\ \{I_{01},\, I_{21},\, I_{20}\} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\Longrightarrow\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{A} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, A \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{01}I_{21}}$

Por último, subrayemos la obligada coincidencia de resultados entre el procedimiento analítico y el procedimiento gráfico utilizados para determinar la posición de $\,I_{20}\,$ . Nótese que el punto $\,A\,$ recorre en su movimiento absoluto una circunferencia de radio $\,a\,$ y centro en $\,C\,$ (marcada con línea negra discontinua en la figura adjunta). El punto $I_{20}\,$ se sitúa sobre dicha circunferencia y en la posición diametralmente opuesta a la posición del punto $\,O\,$ , de tal modo que el diámetro fijo $\,OI_{20}\,$ es "visto" siempre bajo un ángulo de 90º desde el punto $\,A\,$ con independencia de la posición concreta de este último sobre la circunferencia (arco capaz de 90º).

@@ Línea 10: / Línea 10: @@
 # Velocidad angular <math>\,\vec{\omega}_{20}\,</math>
-# Velocidad <math>\,\vec{v}^{\, O} _{20}\,</math>
+# Velocidad <math>\,\vec{v}^{\,\, O} _{20}\,</math>
 # Vector de posición <math>\,\overrightarrow{OI_{20}}\,</math> del centro instantáneo de rotación del movimiento <math>\,\{20\}\,</math>
@@ Línea 16: / Línea 16: @@
 [[Archivo:varilla-varilla-sol.png|right]]
-Exigiendo que la suma de todos los ángulos internos del triángulo isósceles <math>\,OAC\,</math> sea <math>\,\pi\,</math> radianes determinamos el ángulo <math>\,\beta\,</math> (en color azul en la figura adjunta) que forman ambas varillas entre sí:
+Exigiendo que la suma de todos los ángulos internos del triángulo isósceles <math>\,OAC\,</math> sea <math>\,\pi\,</math> radianes, determinamos el ángulo <math>\,\beta\,</math> (en color azul en la figura adjunta) que forman ambas varillas entre sí:
 <center><math>
 \,\beta+\theta=\pi\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, \beta=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}
 </math></center>
-Al ser <math>\,\beta\,</math> el ángulo formado por la varilla <math>\,AB\,</math> (sólido "2") y la varilla <math>\,OD\,</math> (sólido "0"), la velocidad angular <math>\,\vec{\omega}_{20}\,</math> puede expresarse así:
+Al ser <math>\,\beta\,</math> el ángulo que forma la varilla <math>\,AB\,</math> (sólido "2") con respecto a la varilla <math>\,OD\,</math> (sólido "0"), la velocidad angular <math>\,\vec{\omega}_{20}\,</math> puede expresarse así:
 <center><math>
 \vec{\omega}_{20}=-\,\dot{\beta}\,\vec{k}
 </math></center>
-donde el signo negativo introducido se justifica mediante el siguiente razonamiento: para que el ángulo <math>\,\beta\,</math> que forma la varilla "2" con respecto a la varilla "0" aumentase (lo cual conllevaría <math>\dot{\beta}>0\,</math>), se necesitaría que la rotación <math>\,\{20\}\,</math> fuese horaria y, por tanto, el vector <math>\,\vec{\omega}_{20}\,</math> correspondiente tendría sentido negativo en la dirección <math>\,\vec{k}\,</math> por la regla del tornillo. Ampliando este razonamiento a la situación inversa y resumiendo, podemos decir que el signo menos es necesario para garantizar la siguiente correspondencia:
+donde el signo negativo se justifica mediante el siguiente razonamiento: si el ángulo <math>\,\beta\,</math> que forma la varilla "2"  respecto a la varilla "0" aumenta (<math>\dot{\beta}>0\,</math>), la rotación <math>\{20\}\,</math> es horaria (<math>\,\vec{\omega}_{20}\cdot\vec{k}<0</math>). Ampliando este razonamiento a la situación inversa, podemos resumir la justificación del signo negativo en la necesidad de garantizar las siguientes correspondencias:
 <center><math>
-\begin{array}{lll}
+\mathrm{si}\,\,\,\dot{\beta}>0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}\cdot\vec{k}<0 \,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
-\mathrm{si}\,\,\dot{\beta}>0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}_{20}\cdot\vec{k}<0 \\ \\
+\mathrm{si}\,\,\,\dot{\beta}<0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{20}\cdot\vec{k}>0
-\mathrm{si}\,\,\dot{\beta}<0\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}_{20}\cdot\vec{k}>0
-\end{array}
 </math></center>
-introducido garantiza que si <math>\dot{\beta}>0\,</math>
+Sustituyendo la expresión de <math>\,\beta\,</math> obtenida al principio, determinamos <math>\,\vec{\omega}_{20}\,</math>:
+{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}{{qquad}}
+<math>
+\vec{\omega}_{20}=-\,\dot{\beta}\,\vec{k}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)=\frac{\dot{\theta}}{2}\,\vec{k}
+</math>
+==Velocidad {20} del punto O==
+Empezaremos calculando la velocidad <math>\vec{v}^{\,\, O}_{21}\,</math>, y para ello vamos a determinar previamente la reducción cinemática <math>\{21\}\,</math> en el punto <math>\,C\,</math>. Elegimos <math>\,C\,</math> como centro de reducción <math>\{21\}\,</math> porque la varilla "2" se halla articulada en dicho punto, y por tanto <math>\,C\,</math> es un punto fijo en el movimiento <math>\{21\}\,</math>:
 <center><math>
-\vec{\omega}_{01}=-\,\dot{\beta}\,\vec{k}=-\frac{\mathrm{d}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)}{\mathrm{d}t}=\frac{\dot{\theta}}{2}\,\vec{k}
+\vec{v}^{\,\, C}_{21}=\vec{0}
 </math></center>
-Una vez conocidas <math>\,\vec{\omega}_{21}\,</math> y <math>\,\vec{\omega}_{01}\,</math>, la velocidad angular <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> se puede determinar mediante la ley de composición de velocidades angulares:
+Al ser <math>\,\theta\,</math> el ángulo que forma la varilla <math>\,AB\,</math> (sólido "2") con respecto al eje <math>\,OX\,</math> (sólido "1"), la velocidad angular <math>\,\vec{\omega}_{21}\,</math> puede expresarse así:
 <center><math>
-\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}=\dot{\theta}\,\vec{k}-\frac{\dot{\theta}}{2}\,\vec{k}=\frac{\dot{\theta}}{2}\,\vec{k}
+\vec{\omega}_{21}=\dot{\theta}\,\vec{k}
+</math></center>
+donde el signo positivo (que se omite) delante de <math>\,\dot{\theta}\,</math> se justifica mediante el siguiente razonamiento: si el ángulo <math>\,\theta\,</math> que forma la varilla "2" con respecto al eje <math>\,OX\,</math> del sólido "1" aumenta (<math>\dot{\theta}>0\,</math>), la rotación <math>\{21\}\,</math> es antihoraria (<math>\,\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{k}>0</math>). Ampliando este razonamiento a la situación inversa, cabe resumir la justificación del signo positivo en la necesidad de garantizar las siguientes correspondencias:
+<center><math>
+\mathrm{si}\,\,\,\dot{\theta}>0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{k}>0\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
+\mathrm{si}\,\,\,\dot{\theta}<0\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{k}<0
+</math></center>
+Conocida la reducción cinemática <math>\{\vec{\omega}_{21}\,; \vec{v}^{\,\, C}_{21}\}</math>, ya podemos calcular la velocidad <math>\vec{v}^{\,\, O}_{21}\,</math> mediante la ecuación del campo de velocidades <math>\{21\}\,</math>:
+<center><math>
+\vec{v}^{\,\, O}_{21}=\underbrace{\vec{v}^{\,\, C}_{21}}_{\displaystyle\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CO}=\dot{\theta}\,\vec{k}\times(-\,a\,\vec{\imath}\,\,)=-\,a\dot{\theta}\,\vec{\jmath}
+</math></center>
+Por otra parte, el punto <math>\,O\,</math> es un punto fijo en el movimiento <math>\{01\}\,</math> porque la varilla "0" se halla articulada en él:
+<center><math>
+\vec{v}^{\,\, O}_{01}=\vec{0}
+</math></center>
+Conocidas las velocidades <math>\vec{v}^{\,\, O}_{21}\,</math> y <math>\vec{v}^{\,\, O}_{01}\,</math>, la ley de composición de velocidades nos permite determinar la velocidad <math>\vec{v}^{\,\, O}_{20}\,</math>:
+<center><math>
+\vec{v}^{\,\, O}_{21}=\vec{v}^{\,\, O}_{20}+\,\vec{v}^{\,\, O}_{01}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,
+\vec{v}^{\,\, O}_{20}=\vec{v}^{\,\, O}_{21}\!-\underbrace{\vec{v}^{\,\, O}_{01}}_{\displaystyle\vec{0}}=-\,a\dot{\theta}\,\vec{\jmath}
 </math></center>
-==Velocidad {20} del punto O==
-<math>-\,a\dot{\theta}\,\vec{\jmath}\,</math>
 ==Vector de posición del C.I.R. del movimiento {20}==
-<math>2a\,\vec{\imath}\,</math>
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+La posición del centro instantáneo de rotación <math>I_{20}\,</math> respecto al origen de coordenadas <math>O\,</math> se puede determinar ANALÍTICAMENTE mediante la fórmula:
+<center><math>
+\overrightarrow{OI_{20}}=\frac{\vec{\omega}_{20}\times\vec{v}^{\,\, O}_{20}}{|\,\vec{\omega}_{20}|^{2}}=2a\,\vec{\imath}
+</math></center>
+El vector de posición <math>\overrightarrow{OI_{20}}\,</math> obtenido es constante (no depende del parámetro <math>\theta\,</math> descriptivo del movimiento del sistema). Por tanto, <math>I_{20}\,</math> es en realidad un centro permanente de rotación.
+También es posible determinar la posición de <math>I_{20}\,</math> GRÁFICAMENTE.
+Para ello, localizamos primero los centros permanentes de rotación <math>I_{21}\,</math> e <math>I_{01}\,</math>, que coinciden con los puntos de articulación de las varillas "2" y "0", respectivamente:
+<center><math>
+I_{21}\equiv C\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,I_{01}\equiv O
+</math></center>
+En cuanto al movimiento <math>\{20\}\!\!\,</math>, se nos indica que el extremo <math>A\,</math> de la varilla "2" está obligado a recorrer la acanaladura longitudinal de la varilla "0", lo cual nos permite saber que la velocidad <math>\vec{v}^{\, A}_{20}\,</math> es necesariamente colineal con la propia varilla "0". Trazando la perpendicular a dicha velocidad en el punto <math>A\,</math> y trazando la recta que pasa por los puntos <math>\,I_{01}\,</math> e <math>\,I_{21}\,</math> (en aplicación del teorema de los tres centros), hallaremos el punto <math>\,I_{20}\,</math> en la intersección de ambas rectas:
+<center><math>
+\left.\begin{array}{r}
+\vec{v}_{20}^{A}\perp\overrightarrow{I_{20}A} \\ \\ \{I_{01},\, I_{21},\, I_{20}\} \,\,\mathrm{alineados} \end{array}\right\} \,\,\,\Longrightarrow\,\,\, I_{20}\,\equiv\,\left\{\begin{array}{c} \mathrm{recta}\perp\vec{v}_{20}^{A} \\ \mathrm{que}\,\,\mathrm{pasa}\,\,\mathrm{por} \, A \end{array}\right\}\,\,\bigcap\,\,\,\overline{I_{01}I_{21}}
+</math></center>
+Por último, subrayemos la obligada coincidencia de resultados entre el procedimiento analítico y el procedimiento gráfico utilizados para determinar la posición de <math>\,I_{20}\,</math>. Nótese que el punto <math>\,A\,</math> recorre en su movimiento absoluto una circunferencia de radio <math>\,a\,</math> y centro en <math>\,C\,</math> (marcada con línea negra discontinua en la figura adjunta). El punto <math>I_{20}\,</math> se sitúa sobre dicha circunferencia y en la posición diametralmente opuesta a la posición del punto <math>\,O\,</math>, de tal modo que el diámetro fijo <math>\,OI_{20}\,</math> es "visto" siempre bajo un ángulo de 90º desde el punto <math>\,A\,</math> con independencia de la posición concreta de este último sobre la circunferencia (arco capaz de 90º).
 [[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)]]

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1 Enunciado

2 Velocidad angular del movimiento {20}

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