Cuestión de álgebra vectorial, Noviembre 2012 (F1 GIA)
De Laplace
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| - | referencia cartesiano son: | + | |
<center><math>O(0, 0, 0)\mathrm{;}\quad A(\sqrt{3} + 1, 0,0)\mathrm{;}\quad B(1, 0, 1)\mathrm{;}\quad C(\sqrt{3}, 2, 1)\mathrm{,} | <center><math>O(0, 0, 0)\mathrm{;}\quad A(\sqrt{3} + 1, 0,0)\mathrm{;}\quad B(1, 0, 1)\mathrm{;}\quad C(\sqrt{3}, 2, 1)\mathrm{,} | ||
última version al 18:20 23 sep 2013
1 Enunciado
medidas en unidades de longitud. Determine las componentes cartesianas de los vectores
y calcule el volumen del paralelepípedo.
2 Solución
Para resolver este sencillo ejercicio basta con aplicar las definiciones y propiedades de los dos operaciones que dotan de estructura de espacio vectorial al conjunto de los segmentos orientados en 
, ordenados como vectores libres. Como se sabe, dichas operaciones son la suma de vectores (según la ley del paralelogramo), y el producto de un vector por un escalar (en general, un número real).
Definamos los vectores 
, 
y 
, que tienen la dirección, el sentido y el módulo de los segmentos orientados 
, 
y 
:
Obsérvese que, según la definición geométrica de la suma de vectores, se verificarán las siguientes relaciones:
Por tanto, si al vector le sumamos el opuesto del vector , se tendrá...
Y si al vector resultante se le suma el vector , se obtiene:
Utilizando la primera relación que introdujimos anteriormente, podemos determinar el vector 
sumándole a el opuesto de 
:
Finalmente, el vector 
lo podemos obtener de la segunda relación:
Para calcular el valor del volumen del paralelepípedo, tenemos en cuenta que los vectores calculados, , y , se corresponden con tres segmentos orientados formados a partir de tres aristas adyacentes del paralelepípedo. En consecuencia, el valor absoluto del producto mixto de aquellos vectores es igual al volumen V que se demanda:
