Fuerza entre dos hilos cargados

De Laplace

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	Un cable formado por dos hilos paralelos produce un campo eléctrico similar al producido por dos líneas infinitas con densidad de carga <math>\lambda</math> y <math>-\lambda</math>, situadas a una distancia <math>D</math> una de la otra.		Un cable formado por dos hilos paralelos produce un campo eléctrico similar al producido por dos líneas infinitas con densidad de carga <math>\lambda</math> y <math>-\lambda</math>, situadas a una distancia <math>D</math> una de la otra.
-	Se trata de hallar la fuerza por unidad de longitud con que se atraen los dos hilos. Para ello, calcule:	+	Halle la fuerza que uno de los hilos produce sobre un segmento de longitud <math>h</math> del otro hilo.
-		+
-	# El campo eléctrico en cualquier punto del espacio, creado por un segmento rectilíneo de longitud <math>L</math>, sobre el cual existe una densidad de carga uniforme <math>\lambda</math>.	+
-	# A partir del resultado anterior, halle el campo en cualquier punto debido a una línea de carga uniforme infinitamente larga.	+
-	# Halle la fuerza que uno de los hilos produce sobre un segmento de longitud <math>h</math> del otro hilo.	+
	==Solución==		==Solución==
-	===Campo de un segmento cargado===	+	[[Imagen:doshiloscargados.png|left]] Para hallar la fuerza que uno de los hilos produce sobre otro situado paralelamente a él, a una distancia <math>D</math>, situamos los ejes de forma que el hilo que crea el campo (el de densidad de carga <math>+\lambda</math>) coincide con el eje <math>Z</math>, mientras que el segundo (con densidad <math>-\lambda</math>) pasa por el punto <math>x=D</math>, <math>y = 0</math>.
-	===Campo de un hilo infinito===	+
-	===Fuerza entre los hilos===	+	Aplicando la expresión para el [[Campo_eléctrico_de_un_segmento_cargado#Campo_de_un_hilo_infinito|campo creado por un hilo infinito]], el campo debido al primer hilo es
		+
		+	<center><math>\mathbf{E}_1(x,y) = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\,\frac{x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y}{x^2+y^2}</math></center>
		+
		+	y su valor en cada uno de los puntos del segundo hilo es
		+
		+	<center><math>\mathbf{E}_1(x=D,y=0) = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0}\,\frac{D\mathbf{u}_x+0\mathbf{u}_y}{D^2+0^2} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0D}\mathbf{u}_x</math></center>
		+
		+	La fuerza sobre un elemento de carga del segundo hilo es
		+
		+	<center><math>\mathrm{d}\mathbf{F}_{21}=\mathrm{d}q_2\mathbf{E}_1 = -(\lambda\,\mathrm{d}z) \left(\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0D}\mathbf{u}_x\right) = -\frac{\lambda^2\mathbf{u}_x}{2\pi\varepsilon_0D}\mathrm{d}z</math></center>
		+
		+	Esta fuerza diferencial es independiente de la altura <math>z</math> a la que se encuentre el elemento (lo cual es evidente dada la simetría traslacional del sistema. Por tanto, la fuerza sobre un segmento de longitud <math>h</math> del segundo hilo es
		+
		+	<center><math>\mathbf{F}_21 = \int_0^h \mathrm{d}\mathbf{F}_{21} = -\frac{\lambda^2h\mathbf{u}_x}{2\pi\varepsilon_0D}</math></center>
		+
		+	Esta fuerza va en el sentido de <math>-\mathbf{u}_x</math>, siendo <math>\mathbf{u}_x</math> el vector que va del primer hilo perpendicularmente al segundo. Esto quiere decir que la fuerza es atractiva, como corresponde a dos hilos cargados con signos opuestos.
-	[[Categoría:Problemas de electrostática]]	+	[[Categoría:Problemas de electrostática en el vacío]]

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última version al 16:31 30 nov 2008

1 Enunciado

Un cable formado por dos hilos paralelos produce un campo eléctrico similar al producido por dos líneas infinitas con densidad de carga λ y − λ, situadas a una distancia D una de la otra.

Halle la fuerza que uno de los hilos produce sobre un segmento de longitud h del otro hilo.

2 Solución

Para hallar la fuerza que uno de los hilos produce sobre otro situado paralelamente a él, a una distancia D, situamos los ejes de forma que el hilo que crea el campo (el de densidad de carga + λ) coincide con el eje Z, mientras que el segundo (con densidad − λ) pasa por el punto x = D, y = 0.

Aplicando la expresión para el campo creado por un hilo infinito, el campo debido al primer hilo es

y su valor en cada uno de los puntos del segundo hilo es

La fuerza sobre un elemento de carga del segundo hilo es

Esta fuerza diferencial es independiente de la altura z a la que se encuentre el elemento (lo cual es evidente dada la simetría traslacional del sistema. Por tanto, la fuerza sobre un segmento de longitud h del segundo hilo es

Esta fuerza va en el sentido de , siendo el vector que va del primer hilo perpendicularmente al segundo. Esto quiere decir que la fuerza es atractiva, como corresponde a dos hilos cargados con signos opuestos.