Amortiguamiento viscoso

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 11:40 27 nov 2014

1 Enunciado

El rozamiento que experimenta una pequeña partícula en medio denso y viscoso como un aceite es de la forma $\vec{F}_r=-\gamma\vec{v}$ . Se construye un sensor de balística, en el que una bala de masa $m$ impacta horizontalmente en un bloque de silicona en el que se cumple la ley anterior. Si la bala recorre una distancia $x 0$ hasta pararse. ¿Con qué velocidad impactó en el bloque?

2 Solución

La bala, una vez que penetra en la silicona, se ve frenada. Inicialmente entra con una velocidad $\vec{v}_0$ , que suponemos horizontal, y la fuerza de rozamiento va reduciendo su rapidez, hasta que llega a detenerse por completo. Hasta que se para recorre una cierta distancia $Δ x$ . Se trata de calcular esta distancia y relacionarla con la velocidad inicial.

Lu ecuación de movimiento de la bala se reduce a

$m\vec{a}=-\gamma\vec{v}$

con las condiciones iniciales

$\vec{v}(t=0)=\vec{v}_0\qquad \vec{}(t=0)=\vec{0}$

Despreciando el efecto del peso, podemos suponer que el movimiento es horizontal en todo instante, lo cual nos permite emplear cantidades escalares

$\vec{r}=x\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{v}=v\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{a}=a\vec{\imath}$

lo cual nos deja con las ecuaciones escalares

$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\gamma v\qquad \qquad v(0)=v_0\qquad\qquad x(0) = 0$

La solución de esta ecuación diferencial es elemental, ya que podemos separarla en dos integrales

$\frac{\mathrm{d}v}{v}=- \frac{\gamma}{m}\,\mathrm{d}t\qquad\Rightarrow\qquad\int_{v_0}^v\frac{\mathrm{d}v}{v}=-\frac{\gamma}{m} \int_0^t\mathrm{d}t$

siendo el resultado

$\ln\left(\frac{v}{v_0}\right) = -\frac{\gamma}{m} t\qquad\Rightarrow\qquad v = v_0\mathrm{e}^{-\gamma t/m}$

Vemos que la velocidad decae exponencialmente y (teóricamente), nunca llega a pararse. Ello no quiere decir que la distancia recorrida sea infinita, ya que el área bajo la curva es finita. Integrando de nuevo tenemos

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v = v_0\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\qquad\Rightarrow\qquad x = \int_0^t v_0\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\mathrm{d}t=\frac{mv_0}{\gamma}\left(1-\mathrm{e}^{-\gamma t/m}\right)$

Esta integral se va acercando asintóticamente a un valor constante.

Cuando $t\to\infty$ la velocidad de la bala se anula y la distancia total que recorre es

$\Delta x = x(\infty) -x(0)= \frac{m v_0}{\gamma}(1-0)=\frac{m v_0}{\gamma}$

y, por tanto, si lo que medimos es la distancia total recorrida, hallamos la velocidad de entrada despejando

$v_0 = \frac{\gamma\,\Delta x}{m}$

3 Solución alternativa

Este problema puede resolverse de manera alternativa, con ayuda de las constantes de movimiento.

La velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo. Por tanto, la ecuación de movimiento puede escribirse como

$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\gamma\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$

o lo que es lo mismo

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(mv+\gamma x\right)=0$

Puesto que la derivada se anula, lo que hay dentro del paréntesis debe ser una constante de movimiento

$mv+\gamma x = \mathrm{cte} = mv_0\,$

El valor de la constante ha salido de su valor en $t = 0$ .

La partícula se para cuando $v = 0$ , lo que nos da

$0+\gamma x_\mathrm{max}=mv_0\qquad\Rightarrow\qquad x_\mathrm{max}=\frac{mv_0}{\gamma}$

@@ Línea 46: / Línea 46: @@
 ==Solución alternativa==
-Este problema puede resolverse de manera alternativa, sin emplear la dependencia temporal, con ayuda de la regla de la cadena.
+Este problema puede resolverse de manera alternativa, con ayuda de las constantes de movimiento.
-Buscamos una relación entre la velocidad inicial y la distancia recorrida. Por ello, en lugar de la derivada respecto al tiempo, nos interesa la derivada respecto a la posición. Se cumple
+La velocidad es la derivada de la posición respecto al tiempo. Por tanto, la ecuación de movimiento puede escribirse como
-<center><math>\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}v</math></center>
+<center><math>m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\gamma\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}</math></center>
-Si llevamos esto a la ecuación de movimiento nos queda
+o lo que es lo mismo
-<center><math>m v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} = -\gamma v \qquad\Rightarrow\qquad \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x} = -\frac{\gamma}{m}</math></center>
+<center><math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(mv+\gamma x\right)=0</math></center>
-cuya integración es inmediata
+Puesto que la derivada se anula, lo que hay dentro del paréntesis debe ser una constante de movimiento
-<center><math>\int_{v_0}^v \mathrm{d}v=-\frac{\gamma}{m}\int_0^x \mathrm{d}x\qquad\Rightarrow\qquad v - v_0 = -\frac{\gamma}{x}</math></center>
+<center><math>mv+\gamma x = \mathrm{cte} = mv_0\,</math></center>
-Esto es, la velocidad disminuye linealmente con la posición
+El valor de la constante ha salido de su valor en <math>t=0</math>.
-<center><math>v = v_0-\frac{\gamma}{m}x</math></center>
+La partícula se para cuando <math>v=0</math>, lo que nos da
-La velocidad se anula en
+<center><math>0+\gamma x_\mathrm{max}=mv_0\qquad\Rightarrow\qquad x_\mathrm{max}=\frac{mv_0}{\gamma}</math></center>
-<center><math>0 = v_0 - \frac{\gamma}{m}\Delta x\qquad \Rightarrow\qquad v_0 = \frac{\gamma\,\Delta x}{m}</math></center>
 [[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula (GIE)]]

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