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| - | ==El problema fundamental de la dinámica==
| + | Al constituir los fundamentos de toda la dinámica de la partícula y de los sistemas, las aplicaciones de las leyes de Newton son ilimitadas. |
| - | ==Vínculos o ligaduras==
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| - | ==Diagramas de cuerpo libre==
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| - | ==Determinación del movimiento==
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| - | ===Problema general===
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| - | ===Solución numérica. Método de Euler===
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| - | ===Solución analítica===
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| - | ==Cálculo de fuerzas==
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| - | ==El oscilador armónico==
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| - | ==Dinámica de la partícula no vinculada==
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| - | Cuando lo que se conoce son las fuerzas que actúan sobre la partícula así como su posición y velocidad iniciales, la pregunta es ¿cómo se mueve la partícula?
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| - | Nuestro punto de partida es la llamada ''ecuación de movimiento'':
| + | No obstante, al estudiar los problemas típicos de la dinámica de la partícula, existen una serie de elementos que aparecen con frecuencia, individualmente o de forma combinada. Por ello, conviene analizar con una cierta extensión los aspectos fundamentales de estas aplicaciones, dejando para la parte de problemas las combinaciones de diferentes elementos. |
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| - | <center><math>\ddot{\vec{r}}=\frac{1}{m}\vec{F}(\vec{r},\dot{\vec{r}},t)</math></center>
| + | Así, son elementos comunes: |
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| - | junto con las condiciones iniciales
| + | * El movimiento de los cuerpos por acción de la [[Movimiento de una partícula por acción de la gravedad (GIE)|gravedad]]. |
| - | | + | * Los [[Dinámica del oscilador armónico (GIE)|sólidos elásticos]] (resortes) y otros sistemas oscilantes (como péndulos). |
| - | <center><math>\vec{r}(t=0) = \vec{r}_0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{v}(t=0)=\vec{v}_0</math></center>
| + | * Las fuerzas de reacción que actúan partículas que se hallan sobre [[Movimiento sobre curvas y superficies (GIE)|superficies]] u obligadas a moverse a lo largo de una curva. |
| - | | + | * La presencia de varillas rígidas o [[Péndulos e hilos (GIE)|hilos flexibles]] (péndulos y poleas). |
| - | La incógnita de este problema es la ecuación horaria <math>\vec{r}=\vec{r}(t)</math>, o equivalentemente, las tres funciones <math>x(t)</math>, <math>y(t)</math>, <math>z(t)</math> (o variables equivalentes). El que debamos determinar tres coordenadas nos dice que el número de grados de libertad del problema es 3.
| + | * El [[Fuerzas de rozamiento (GIE)|rozamiento]], seco o viscoso |
| - | | + | [[Categoría:Dinámica de la partícula (GIE)]] |
| - | <center><math>r = 3\,</math></center>
| + | [[Categoría:Movimiento oscilatorio (GIE)]] |
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| - | En el caso de que conozcamos la fuerza como función del tiempo solamente, la respuesta es sencilla: basta con integrar dos veces respecto al tiempo
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| - | <center><math>\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \int_0^t\frac{\vec{F}(t)}{m}\,\mathrm{d}t</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{r}(t) = \vec{r}_0+\int_0^t\vec{v}(t)\,\mathrm{d}t</math></center>
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| - | Lo normal, sin embargo, es que la fuerza no se conozca como función del tiempo, sino como función de la posición (como en el caso de la ley de la Gravitación Universal), de la velocidad (por ejemplo, la fuerza de Lorentz sobre una carga en movimiento es proporcional a la velocidad) y en ocasiones del tiempo. Esto quiere decir que para poder determinar la posición como función del tiempo, debemos integrar una función... que no conocemos hasta que hayamos determinado la propia posición. Esta aparente circularidad convierte a esta fórmula en lo que se conoce como una ''ecuación diferencial'' y hace que su integración no sea en absoluto trivial. De hecho, en solo algunos casos es posible determinar analíticamente la posición incluso aunque se conozca perfectamente la fuerza.
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| - | En numerosas situaciones de interés, es preciso recurrir a la integración numérica, en la cual se obtiene la posición, con una cierta precisión, con ayuda de ordenadores. Por ejemplo, el movimiento de la Tierra respecto al Sol puede determinarse exactamente, si solo consideramos estos dos astros, pero el movimiento del sistema Tierra-Luna alrededor del Sol es imposible de resolver analíticamente y requiere de técnicas aproximadas.
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| - | La segunda ley de Newton puede descomponerse en un sistema de ecuaciones para las coordenadas cartesianas de la partícula
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| - | <center><math>m\ddot{x} = F_x</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>m\ddot{y}=F_y</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>m\ddot{z}=F_z</math></center>
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| - | siendo <math>F_x</math>, <math>F_y</math> y <math>F_z</math> las componentes cartesianas de la fuerza
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| - | <center><math>F_x = \vec{F}\cdot\vec{\imath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>F_y = \vec{F}\cdot\vec{\jmath}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>F_z = \vec{F}\cdot\vec{k}</math>
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| - | </center>
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| - | Estas ecuaciones no son independientes porque cada componente de la fuerza dependerá en general de las tres coordenadas.
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| - | En el caso de un movimiento que se restringe al plano XY también podemos usar las [[Cinemática_del_punto_material_(G.I.T.I.)#Expresiones_en_coordenadas_polares|coordenadas polares]], quedando las ecuaciones
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| - | <center><math>m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2\right)=F_\rho</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>m\left(\rho\ddot{\theta}+2\dot{\rho}\dot{\theta}\right)=F_\theta</math></center>
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| - | siendo
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| - | <center><math>F_\rho = \vec{F}\cdot\vec{u}_\rho</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>F_\theta = \vec{F}\cdot\vec{u}_\theta</math></center>
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| - | las componentes radial y acimutal de la fuerza.
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| - | Como ilustración de un problema importante de dinámica de partícula no vinculada tenemos el caso de la [[caída libre de un cuerpo]], con y sin rozamiento con el aire.
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| - | ==Partícula vinculada. Principio de liberación==
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| - | ===Concepto de vínculo. Clasificación===
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| - | A menudo una partícula no posee libertad de movimiento en el espacio, sino que se encuentra sometida a ''vínculos'' (o ''ligaduras''). Un vínculo es una restricción sobre la posición, la velocidad, o una combinación de ambas. Por ejemplo, una partícula suspendida de un péndulo rígido se ve sometida a la restricción <math>x^2+y^2+z^2 = l^2\,</math>. Tal como ocurre en este ejemplo, la mayoría de los vínculos (los denominados bilaterales) se traduce matemáticamente en la obligación de la partícula de satisfacer una ecuación adicional a las ecuaciones de movimiento. Es la denominada ''ecuación de ligadura'', de expresión general
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| - | <center><math>f(\vec{r},\dot{\vec{r}},t) = 0</math></center>
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| - | El efecto de un vínculo es la reducción del número de grados de libertad de la partícula, según la ecuación
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| - | <center><math>r = 3 - h\,</math></center>
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| - | siendo <math>r</math> el número de grados de libertad y <math>h</math> el número de ecuaciones de ligadura. Para el caso del péndulo, tendremos <math>r=2</math>. Si además está obligado a moverse sobre un plano vertical, <math>h=2</math> y <math>r=1</math>.
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| - | Los vínculos pueden clasificarse atendiendo a diferentes criterios.
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| - | ;Unilaterales y bilaterales: Cuando el vínculo impide un desplazamiento en un sentido, pero no en el opuesto, se dice que el vínculo es unilateral. Si impide el movimiento en los dos sentidos, es bilateral. Matemáticamente, un vínculo unilateral se expresa mediante una desigualdad; uno bilateral por una igualdad (ecuación de ligadura).
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| - | :Por ejemplo, un péndulo que cuelga de un hilo flexible supone un vínculo unilateral, expresable como <math>x^2+y^2+z^2\leq l_0^2</math>. Si cuelga de una barra rígida es bilateral, cumpliéndose <math>x^2+y^2+z^2= l_0^2</math>
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| - | ;Geométricos y cinemáticos: Se denomina vínculo geométrico a aquel que se puede expresar como una relación sobre las coordenadas de la partícula, es decir, aquel en cuya ecuación de ligadura no aparece explícitamente ninguna componente de la velocidad. Si además liga a las velocidades, el vínculo es cinemático. Todo vínculo geométrico produce uno cinemático, pero no a la inversa.
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| - | :Por ejemplo, una partícula obligada a moverse en el extremo de un péndulo rígido está sometida a la condición geométrica
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| - | <center><math>x^2+y^2+z^2=l_0^2</math></center>
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| - | :Derivando en esta expresión respecto al tiempo llegamos a la condición cinemática
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| - | <center><math>x\dot{x}+y\dot{y}+z\dot{z}=0</math></center>
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| - | :Una esfera que rueda sobre un plano verifica que la velocidad en el punto de contacto debe ser nula pero de esta condición cinemática no se deduce ningún vínculo geométrico (en ese caso, al vínculo se le llama ''no holónomo'').
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| - | ;Holónomos y no holonómos: Relacionado con lo anterior, un vínculo geométrico o uno cinemático que puede integrarse para dar uno geométrico, se denomina vínculo ''holónomo''. Si es uno cinemático que no conduce a uno geométrico, es ''no holónomo''.
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| - | ;Reónomos y esclerónomos: Un vínculo se denomina ''esclerónomo'' si es independiente del tiempo, es decir, si el tiempo no aparece explícitamente en la ecuación de ligadura asociada. Si sí depende del tiempo, el vínculo es ''reónomo''.
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| - | :Por ejemplo, el vínculo de una partícula en el extremo de un péndulo es esclerónomo; una partícula en el [[Partícula_en_el_interior_de_un_tubo|interior de un tubo]] en rotación uniforme está sometida al vínculo reónomo.
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| - | <center><math>y/x =\,\mathrm{tg}\,(\omega t)</math></center>
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| - | ;Lisos y rugosos: Si el vínculo no ejerce rozamiento se denomina ''liso''. En caso contrario, el vínculo es ''rugoso''.
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| - | ===Fuerzas de reacción vincular===
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| - | Según hemos visto, cada vínculo introduce una ecuación adicional en el problema dinámico, con lo que ahora tenemos cuatro o más ecuaciones: las tres componentes de la segunda ley de Newton (ecuaciones de movimiento), más las de las ligaduras presentes (que pueden ser una, dos o tres)
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| - | <center><math>\ddot{\vec{r}}=\frac{1}{m}\vec{F}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>f_i(\vec{r},\dot{\vec{r}},t)=0</math></center>
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| - | Esto plantea el problema de que tengamos más ecuaciones que incógnitas, ya que en principio, nuestro objetivo seguiría siendo determinar las tres funciones <math>x(t)</math>, <math>y(t)</math>, <math>z(t)</math>. Para que el sistema tenga solución, deberán incluirse tantas incógnitas adicionales como ecuaciones de ligadura haya. ¿Cuáles son estas incógnitas?
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| - | Desde el punto de vista físico, podemos preguntarnos por el mecanismo por el cual el vínculo ejerce su limitación.
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| - | Si la posición se ve limitada, también su aceleración se ve afectada. De acuerdo con la segunda ley de Newton, un cambio en la aceleración se debe a la presencia de una fuerza. Por tanto, la presencia de un vínculo se manifiesta como una fuerza adicional ejercida sobre la partícula. Esta fuerza es conocida como ''fuerza de reacción vincular''.
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| - | [[Archivo:fuerzas-pendulo.png|right]] | + | |
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| - | Consideremos el problema dinámico de las [[Tensión de un péndulo|oscilaciones de un péndulo]]. Puesto que la partícula no cae verticalmente hacia abajo, es claro que sobre la lenteja debe haber alguna fuerza actuando además de su peso. Esta fuerza es la tensión de la cuerda, que conjuntamente con el peso, es responsable de que la partícula se mueva según un arco de circunferencia. Podemos entonces sustituir la cuerda de la que pende, por una tensión equivalente, que será una incógnita del problema, junto con la ecuación adicional de que la partícula se encuentra a una distancia fija del anclaje.
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| - | Hay que destacar que el valor de la fuerza de reacción vincular en una situación dinámica no coincide con el valor de la fuerza de reacción en una situación estática, esto es, depende del estado de movimiento de la partícula.
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| - | Generalizando, tenemos el
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| - | ;Principio de liberación: Todo punto material o sistema de puntos materiales sometido a vínculos puede ser tratado como si estuviese libre de los mismos si se sustituyen dichos vínculos por las denominadas fuerzas de reacción vincular <math>\vec{\Phi}_k</math>, las cuales presentan las siguientes características:
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| - | :* Cumplen la misma función que los vínculos sustituidos, es decir, se oponen a cualquier estado de reposo o movimiento que sea incompatible con ellos;
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| - | :* Son perpendiculares a los vínculos geométricos cuando éstos consisten en superficies o curvas lisas (sin rozamiento).
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| - | Por tanto, el tratamiento de la dinámica de un punto material vinculado requiere, en virtud del principio de liberación, la incorporación a las ecuaciones de las ''fuerzas de reacción vincular'' <math>\vec{\Phi}_k</math>, las cuales, por ser desconocidas ''a priori'', introducen nuevas ''incógnitas'' en el problema matemático.
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| - | <center><math>
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| - | \begin{cases}\displaystyle\ddot{\vec{r}}=\frac{1}{m}\left[\sum_{i=1}^n\vec{F}_i(t,\vec{r},\dot{\vec{r}}\,)+
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| - | \sum_{k=1}^m\vec{\Phi}_k\right] & \\ & \\ \displaystyle f_j(\vec{r},\dot{\vec{r}},t)=0\;\;\;\;\;
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| - | (\mbox{con}\; j=1,...,h)\;\longrightarrow\; \mbox{ecuaciones de ligadura} & \end{cases}</math></center>
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| - | En esta expresión <math>\vec{F}_i</math> son las llamadas ''fuerzas activas'', que son aquellas que no son de ligadura, y que se suponen conocidas. En el caso de una partícula no vinculada, todas las fuerzas son activas.
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| - | Por último, señalaremos la importancia de asignar la dirección correcta a las fuerzas de reacción vincular en la medida en que dicha dirección esté predeterminada (por ejemplo, teniendo presente la ortogonalidad de dichas fuerzas a los vínculos geométricos lisos). En buena parte en esto radica el "saber desvincular" una partícula, ya que no podemos olvidar que la compatibilidad del sistema de ecuaciones exige que el número de incógnitas introducidas a través de las fuerzas de reacción vincular sea igual (y no superior) al número <math>h</math> de ecuaciones de ligadura.
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Al constituir los fundamentos de toda la dinámica de la partícula y de los sistemas, las aplicaciones de las leyes de Newton son ilimitadas.
No obstante, al estudiar los problemas típicos de la dinámica de la partícula, existen una serie de elementos que aparecen con frecuencia, individualmente o de forma combinada. Por ello, conviene analizar con una cierta extensión los aspectos fundamentales de estas aplicaciones, dejando para la parte de problemas las combinaciones de diferentes elementos.
