5.10. Hélice de avión en rotación

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 12:21 24 sep 2013

Contenido

1 Enunciado
2 Reducciones cinemáticas de {20} y {01}
- 2.1 Movimiento de arrastre {01}
- 2.2 Movimiento relativo {20}
3 Velocidad y aceleración de P
- 3.1 Velocidad absoluta de P
- 3.2 Aceleración absoluta de P
4 Reducción cinemática de {21}
5 Valores numéricos

1 Enunciado

El avión (sólido “0”) de la figura rota alrededor del eje vertical OZ $1$ de modo que el centro C de su hélice describe una circunferencia de radio $L$ en el sistema de referencia fijo OX $1$ Y $1$ Z $1$ (sólido “1”). La velocidad angular de esta rotación es constante, su módulo es $|\vec{\omega}_{01}| = \Omega$ y su sentido el indicado en la figura. Además, la hélice (sólido “2”), cuyo radio es $R$ , rota en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad angular también de módulo constante $|\vec{\omega}_{20}| = \omega$ y con el sentido indicado en la figura. Se pide

La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
Aplicando las leyes de composición de velocidades y aceleraciones, la velocidad $\vec{v}^P_{21}$ y la aceleración $\vec{a}^P_{21}$ del punto más alto de la hélice (punto P en la figura).
La reducción cinemática del movimiento {21} en P y la ecuación de su EIRMD ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido “1”?
Calcule numéricamente $\vec{v}^P_{21}$ y $\vec{a}^P_{21}$ para los valores $R = 1\,\mathrm{m}$ , $L = 100\,\mathrm{m}$ , $\omega = 100\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ y $\Omega = 1\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ .

Nota: Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” para resolver el ejercicio.

2 Reducciones cinemáticas de {20} y {01}

2.1 Movimiento de arrastre {01}

El movimiento de arrastre es una rotación alrededor del eje permanente $O Z 0 = O Z 1$ . Si reducimos en un punto de este eje (por ejemplo, en O), tenemos una velocidad de deslizamiento nula y una velocidad angular constante

$\{\vec{\omega}_{01},\vec{v}^O_{01}\}=\{\Omega\vec{k}_0,\vec{0}\}$

El EIR de este movimiento es el propio eje $O Z 0$ .

2.2 Movimiento relativo {20}

El movimiento {20} es también una rotación pura alrededor de un eje fijo, que pasa por el centro de la hélice C. Reduciendo en este punto tenemos

$\{\vec{\omega}_{20},\vec{v}^C_{20}\}=\{\omega\vec{\jmath}_0,\vec{0}\}$

El EIR de este movimiento es uno paralelo a $O Y 0$ y que pasa por C.

3 Velocidad y aceleración de P

3.1 Velocidad absoluta de P

La velocidad absoluta de P es la suma de la relativa y la de arrastre

$\vec{v}^P_{21}=\vec{v}^P_{20}+\vec{v}^P_{01}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP}+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AP}$

Sustituyendo las velocidades angulares y los vectores de posición relativa queda

$\vec{v}^P_{21}=(\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)+(\Omega\vec{k}_0)\times(L\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0)=\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0$

3.2 Aceleración absoluta de P

Usando la ley de composición de aceleraciones

$\vec{a}^P_{21}=\vec{a}^P_{20}+\vec{a}^P_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}$

donde los diferentes términos tienen el valor siguiente:

Aceleración de arrastre {01}: Es la de una rotación con velocidad angulkar constante en torno a un eje permanente

$\vec{a}^P_{01}=\overbrace{\vec{a}^O_{01}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{01}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OP})= (\Omega\vec{k}_0)\times\left((\Omega\vec{k}_0)\times(L\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0)\right) =-L\Omega^2\vec{\imath}_0$

Aceleración relativa {20}: Es la de otra rotación alrededor de un eje permanente con velocidad angular constante.

$\vec{a}^P_{20}=\overbrace{\vec{a}^C_{20}}^{=\vec{0}}+\overbrace{\vec{\alpha}_{20}}^{=\vec{0}}\times\overrightarrow{CP}+\vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CP})= (\omega\vec{\jmath}_0)\times\left((\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)\right) =-R\omega^2\vec{k}_0$

Término de Coriolis: Por último tenemos la contribución:

$2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}=2(\Omega\vec{k}_0)\times\left((\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)\right) = 2R\Omega\omega\vec{\jmath}_0$

Sumando las tres contribuciones hallamos la aceleración absoluta

$\vec{a}^P_{21}=-L\Omega^2\vec{\imath}_0+2R\Omega\omega\vec{\jmath}_0-R\omega^2\vec{k}_0$

4 Reducción cinemática de {21}

El movimiento absoluto {21}, composición de dos rotaciones puras, no es una rotación pura.

La velocidad angular del movimiento absoluta es la suma de la del relativo más la del de arrastre

$\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0$

Calculamos la velocidad de deslizamiento proyectando la velocidad de un punto cualquiera sobre la velocidad angular. Puesto que ya conocemos la velocidad de P, podemos emplear este punto

$v_d = \frac{\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|} = \frac{(\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0)\cdot(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}= \frac{L\omega\Omega}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}$

Para hallar la posición del EIRMD empleamos la fórmula general

$\overrightarrow{PI}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^P_{21}}{\omega_{21}^2}+\lambda\vec{\omega}_{21}$

Sustituyendo las diferentes cantidades

$\overrightarrow{PI}= \frac{(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)\times(\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0)}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)=\frac{-L\Omega^2\vec{\imath}_0+R\omega\Omega\vec{\jmath}_0-R\omega^2\vec{k}_0}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)$

Respecto al punto O, los puntos del eje se encuentran en

$\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PI}=\frac{L\omega^2\vec{\imath}_0+R\omega\Omega\vec{\jmath}_0+R\Omega^2\vec{k}_0}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)$

Podemos simplificar esta ecuación escribiéndola como

$\overrightarrow{OI}=\frac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\vec{\imath}_0 + \omega\left(\frac{R\Omega}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda\right)\vec{\jmath}_0+\Omega\left(\frac{R\Omega}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda\right)\vec{k}_0$

Haciendo

$\mu = \lambda +\frac{R\Omega}{\omega^2+\Omega^2}\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{OI}=\frac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\vec{\imath}_0 + \mu(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)$

que nos dice que el EIRMD pasa por un punto del eje $O X 0$ y corta a este eje perpendicularmente según una dirección contenida en un plano paralelo a $O Y 0 Z 0$ .

Para los puntos de este eje, la reducción cinemática es

$\{\vec{\omega}_{21},\vec{v}^I_{21}\}=\left\{\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0,\frac{L\omega\Omega(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)}{\omega^2+\Omega^2}\right\}$

5 Valores numéricos

Sustituyendo los valores del enunciado obtenemos la velocidad

$\vec{v}^P_{21}= \omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0 = (100\vec{\imath}_0+100\vec{\jmath}_0)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

con módulo

$v^P_{21}=141\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

La aceleración en este mismo instante vale

$\vec{a}^P_{21}=-L\Omega^2\vec{\imath}_0+2R\Omega\omega\vec{\jmath}_0-R\omega^2\vec{k}_0 = (-100\vec{\imath}_0+200\vec{\jmath}_0-10000\vec{k}_0)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

siendo su módulo

$a^P_{21}=10002\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\simeq 10^4\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

Vemos que mientras que para la velocidad, la contribución del movimiento de rotación de la hélice y del avión contribuyen en igual medida, para la aceleración la principal contribución, con diferencia, proviene de la rotación de la hélice alrededor de su eje.

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
 ==Enunciado==
-El avión (sólido &ldquo;0&rdquo;) de la figura se mueve de modo que el centro C de su hélice describe una circunferencia de radio <math>L</math>. El módulo de la velocidad angular de este giro es constante y su módulo es <math>|\vec{\omega}_{01}| = \Omega</math>. Además, la hélice (sólido &ldquo;2&rdquo;), cuyo radio es <math>R</math>, gira en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad angular también de módulo constante <math>|\vec{\omega}_{20}| = \omega</math>. Se pide
+El avión (sólido &ldquo;0&rdquo;) de la figura rota alrededor del eje vertical OZ<math>_1</math> de modo que el centro C de su hélice describe una circunferencia de radio <math>L</math> en el sistema de referencia fijo OX<math>_1</math>Y<math>_1</math>Z<math>_1</math> (sólido &ldquo;1&rdquo;). La velocidad angular de esta rotación es constante, su módulo es <math>|\vec{\omega}_{01}| = \Omega</math> y su sentido el indicado en la figura. Además, la hélice (sólido &ldquo;2&rdquo;), cuyo radio es <math>R</math>, rota en torno a un eje perpendicular a ella y que pasa por su centro, con velocidad angular también de módulo constante <math>|\vec{\omega}_{20}| = \omega</math> y con el sentido indicado en la figura. Se pide
 # La reducción cinemática de los movimientos {01} y {20}.
-# Aplicando la composición de velocidades, la velocidad <math>\vec{v}^P_{21}</math> y aceleración <math>\vec{a}^P_{21}</math> del punto más alto de la hélice (punto P en la figura).
+# Aplicando las leyes de composición de velocidades y aceleraciones, la velocidad <math>\vec{v}^P_{21}</math> y la aceleración <math>\vec{a}^P_{21}</math> del punto más alto de la hélice (punto P en la figura).
-# La reducción cinemática del movimiento {21} en P y la ecuación de su EIRMD. ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido &ldquo;1&rdquo;?
+# La reducción cinemática del movimiento {21} en P y la ecuación de su EIRMD ¿Qué tipo de movimiento describe la hélice respecto al sólido &ldquo;1&rdquo;?
-# Calcule numéricamente <math>v^P_{21}</math> y <math>a^P_{21}</math> para los valores <math>R = 1\,\mathrm{m}</math>, <math>L
+# Calcule numéricamente <math>\vec{v}^P_{21}</math> y <math>\vec{a}^P_{21}</math> para los valores <math>R = 1\,\mathrm{m}</math>, <math>L
 = 100\,\mathrm{m}</math>, <math>\omega = 100\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}</math> y <math>\Omega = 1\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}</math>.
 <center>[[Archivo:helice-avion-rotacion.png]]</center>
-'''Nota''': Se recomienda utilizar el triedro asociado al sólido &ldquo;0&rdquo; para resolver el problema.
+'''Nota''': Se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro &ldquo;0&rdquo; para resolver el ejercicio.
 ==Reducciones cinemáticas de {20} y {01}==
 ===Movimiento de arrastre {01}===
-El movimiento de arrastre es una rotación alrededor del eje permanente <math>OZ_0=OZ_1</math>. Si reducimos en un punto de este eje )por ejemplo, en O), tenemos una velocidad de deslizamiento nula y una velocidad angular constante
+El movimiento de arrastre es una rotación alrededor del eje permanente <math>OZ_0=OZ_1</math>. Si reducimos en un punto de este eje (por ejemplo, en O), tenemos una velocidad de deslizamiento nula y una velocidad angular constante
 <center><math>\{\vec{\omega}_{01},\vec{v}^O_{01}\}=\{\Omega\vec{k}_0,\vec{0}\}</math></center>
@@ Línea 36: / Línea 36: @@
 <center><math>\vec{v}^P_{21}=(\omega\vec{\jmath}_0)\times(R\vec{k}_0)+(\Omega\vec{k}_0)\times(L\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0)=\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0</math></center>
 ===Aceleración absoluta de P===
-Usando la ley de composición de velocidades
+Usando la ley de composición de aceleraciones
 <center><math>\vec{a}^P_{21}=\vec{a}^P_{20}+\vec{a}^P_{01}+2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^P_{20}</math></center>
@@ Línea 61: / Línea 61: @@
 El movimiento absoluto {21}, composición de dos rotaciones puras, no es una rotación pura.
-La velocidad angular del movimiento absoluta es la suma de la de l relativo más el de arrastre
+La velocidad angular del movimiento absoluta es la suma de la del relativo más la del de arrastre
 <center><math>\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0</math></center>
-Calculamos la velocidad de deslizamiento proyectando la velocidad de un punto sobre la velocidad angular. Puesto que ya conocemos la velocidad de P, podemos emplear éste punto
+Calculamos la velocidad de deslizamiento proyectando la velocidad de un punto cualquiera sobre la velocidad angular. Puesto que ya conocemos la velocidad de P, podemos emplear este punto
-<center><math>v_d = \frac{\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}| = \frac{(\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0)\cdot(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}= \frac{L\Omega}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}</math></center>
+<center><math>v_d = \frac{\vec{v}^P_{21}\cdot\vec{\omega}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|} = \frac{(\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0)\cdot(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}= \frac{L\omega\Omega}{\sqrt{\omega^2+\Omega^2}}</math></center>
+Para hallar la posición del EIRMD empleamos la fórmula general
+<center><math>\overrightarrow{PI}=\frac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^P_{21}}{\omega_{21}^2}+\lambda\vec{\omega}_{21}</math></center>
+Sustituyendo las diferentes cantidades
+<center><math>\overrightarrow{PI}= \frac{(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)\times(\omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0)}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)=\frac{-L\Omega^2\vec{\imath}_0+R\omega\Omega\vec{\jmath}_0-R\omega^2\vec{k}_0}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)</math></center>
+Respecto al punto O, los puntos del eje se encuentran en
+<center><math>\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PI}=\frac{L\omega^2\vec{\imath}_0+R\omega\Omega\vec{\jmath}_0+R\Omega^2\vec{k}_0}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)</math></center>
+Podemos simplificar esta ecuación escribiéndola como
+<center><math>\overrightarrow{OI}=\frac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\vec{\imath}_0 + \omega\left(\frac{R\Omega}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda\right)\vec{\jmath}_0+\Omega\left(\frac{R\Omega}{\omega^2+\Omega^2}+\lambda\right)\vec{k}_0</math></center>
+Haciendo
+<center><math>\mu = \lambda +\frac{R\Omega}{\omega^2+\Omega^2}\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{OI}=\frac{L\omega^2}{\omega^2+\Omega^2}\vec{\imath}_0 + \mu(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)</math></center>
+que nos dice que el EIRMD pasa por un punto del eje <math>OX_0</math> y corta a este eje perpendicularmente según una dirección contenida en un plano paralelo a <math>OY_0Z_0</math>.
+Para los puntos de este eje, la reducción cinemática es
+<center><math>\{\vec{\omega}_{21},\vec{v}^I_{21}\}=\left\{\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0,\frac{L\omega\Omega(\omega\vec{\jmath}_0+\Omega\vec{k}_0)}{\omega^2+\Omega^2}\right\}</math></center>
 ==Valores numéricos==
-[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]
+Sustituyendo los valores del enunciado obtenemos la velocidad
+<center><math>\vec{v}^P_{21}= \omega R\vec{\imath}_0+\Omega L\vec{\jmath}_0 = (100\vec{\imath}_0+100\vec{\jmath}_0)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
+con módulo
+<center><math>v^P_{21}=141\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
+La aceleración en este mismo instante vale
+<center><math>\vec{a}^P_{21}=-L\Omega^2\vec{\imath}_0+2R\Omega\omega\vec{\jmath}_0-R\omega^2\vec{k}_0 = (-100\vec{\imath}_0+200\vec{\jmath}_0-10000\vec{k}_0)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
+siendo su módulo
+<center><math>a^P_{21}=10002\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}\simeq 10^4\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
+Vemos que mientras que para la velocidad, la contribución del movimiento de rotación de la hélice y del avión contribuyen en igual medida, para la aceleración la principal contribución, con diferencia, proviene de la rotación de la hélice alrededor de su eje.
+[[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)|7]]

5.10. Hélice de avión en rotación

De Laplace

última version al 12:21 24 sep 2013

Contenido

1 Enunciado

2 Reducciones cinemáticas de {20} y {01}

2.1 Movimiento de arrastre {01}

2.2 Movimiento relativo {20}

3 Velocidad y aceleración de P

3.1 Velocidad absoluta de P

3.2 Aceleración absoluta de P

4 Reducción cinemática de {21}

5 Valores numéricos

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