Compresión adiabática irreversible

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 20:15 27 may 2010

Contenido

1 Enunciado
2 Temperatura y volumen final
3 Aumento de entropía
4 Caso numérico

1 Enunciado

Se tiene un cilindro de paredes adiabáticas cerrado por un pistón móvil, también adiabático. En el interior del cilindro se encuentra un gas ideal sitiado inicialmente a una presión $p 0$ , una temperatura $T 0$ y ocupando un volumen $V 0$ . De pronto se aumenta bruscamente la presión externa colocando una pesa sobre el pistón, de forma que la nueva presión externa pasa a ser $p 1 = r p 0 > p 0$ . El gas se comprime hasta que las presiones interna y externa vuelven a coincidir.

Halle la temperatura final y el volumen final ocupado por el gas.
Calcule el incremento de entropía del sistema
Supongamos que se trata de un gas diatómico a una presión inicial de 1 atm, una temperatura inicial 20°C y un volumen inicial de 100 cm³. Si la presión final es de 2 atm. ¿Cuál es el volumen y la temperatura finales, el trabajo realizado sobre el sistema y el aumento de entropía? Compárense estos resultados con lo que se obtienen en una compresión adiabática reversible desde 1 a 2 atm.

2 Temperatura y volumen final

Al no tratarse de un proceso reversible, aunque se trata de un proceso adiabático no podemos usar la ecuación de Poisson $p V γ = cte$ , sino que debemos ir a los conceptos básicos.

Tenemos que el proceso es adiabático, por lo que en él

$Q=0\,$

De acuerdo con el primer principio de la termodinámica, todo el trabajo realizado sobre el sistema se emplea en aumentar la energía interna

$W = \Delta U\,$

El trabajo lo podemos calcular sabiendo que la presión externa es constante en todo el proceso

$W = -\int_{V_0}^{V_1}p_1\,\mathrm{d}V = -p_1(V_1-V_0)$

El aumento de la energía interna lo podemos relacionar con el incremento de temperatura. Para un gas ideal

$\Delta U = nc_v(T_1-T_0) = \frac{c_v}{R}\left(nRT_1-nRT_0\right)=\frac{1}{\gamma-1}\left(p_1V_1-p_0V_0\right)$

Igualando el trabajo al aumento de la energía interna

$-p_1(V_1-V_0) = \frac{p_1V_1-p_0V_0}{\gamma-1}$ $\Rightarrow$ $V_1 = \left(\frac{(\gamma-1)p_1+p_0}{p_1\gamma}\right)V_0=\left(\frac{(\gamma-1)r+1}{\gamma r}\right)V_0$

con $r = p 1 / p 0$ .

Una vez que tenemos el volumen final tenemos la temperatura

$T_1 = \frac{p_1V_1}{p_0V_0}T_0 = \left(\frac{(\gamma-1)r+1}{\gamma}\right)T_0$

3 Aumento de entropía

El aumento de entropía lo calculamos a partir del conocimiento de la entropía de un gas ideal como función de la temperatura y la presión

$\Delta S = n c_p \ln\left(\frac{T_1}{T_0}\right)- nR \ln\left(\frac{p_1}{p_0}\right)= nc_p\ln\left(\frac{(1-\gamma)r+1}{\gamma}\right)-n R\ln(r) = \frac{p_0V_0}{T_0}\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\ln\left(\frac{(1-\gamma)r+1}{\gamma}\right)-\ln(r)\right)$

4 Caso numérico

Tenemos que

$p_0 = 101325\,\mathrm{Pa}$ $T_0=293\,\mathrm{K}$ $V_0=10^{-4}\,\mathrm{m}^3$ $p_1=2p_0\,$ $\gamma = \frac{7}{5}$

Sustituyendo obtenemos

Volumen: El volumen final es

$V_1 = \frac{9}{14}V_0 = 64.3\,\mathrm{cm}^3$

En un proceso adiabático reversible, este volumen sería

$V'_1 = \left(\frac{p_0}{p_1}\right)^{1/\gamma}V_0 = 60.9\,\mathrm{cm}^3$

esto es, la compresión es menor en el proceso adiabático irreversible.

Temperatura: Sustituyendo igualmente obtenemos la temperatura final

$T_1 = \frac{9}{7}T_0 = 376\,\mathrm{K}$

En un proceso adiabático reversible, la temperatura final sería

$T'_1 = \left(\frac{p_0}{p_1}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}T_0 = 357\,\mathrm{K}$

La temperatura aumenta más en el proceso irreversible que en el reversible.

Trabajo y aumento de energía: En el proceso irreversible, el trabajo realizado sobre el sistema es

$W = \Delta U = -p_1(V_1-V_0)=\frac{p_0V_0(r-1)}{\gamma}=7.24\,\mathrm{J}$

En un proceso reversible sería

$W' = \Delta U' = \frac{p_1V'_1-p_0V_0}{\gamma - 1} = 5.54\,\mathrm{J}$

Entropía: La variación de entropía en el proceso reversible es

$\Delta S = 6.44\,\frac{\mathrm{mJ}}{\mathrm{K}}$

En el proceso reversible alternativo, la variación de entropía es naturalmente nula.

@@ Línea 73: / Línea 73: @@
 :En un proceso reversible sería
-<center><math>W = \Delta U = \frac{p_1V'_1-p_0V_0}{\gamma - 1} = 5.54\,\mathrm{J}</math></center>
+<center><math>W' = \Delta U' = \frac{p_1V'_1-p_0V_0}{\gamma - 1} = 5.54\,\mathrm{J}</math></center>
+;Entropía: La variación de entropía en el proceso reversible es
+<center><math>\Delta S = 6.44\,\frac{\mathrm{mJ}}{\mathrm{K}}</math></center>
+:En el proceso reversible alternativo, la variación de entropía es naturalmente nula.
+[[Categoría: Problemas del segundo principio de la termodinámica]]

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