Compresión adiabática irreversible

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Temperatura y volumen final
3 Aumento de entropía
4 Caso numérico

1 Enunciado

Se tiene un cilindro de paredes adiabáticas cerrado por un pistón móvil, también adiabático. En el interior del cilindro se encuentra un gas ideal sitiado inicialmente a una presión $p 0$ , una temperatura $T 0$ y ocupando un volumen $V 0$ . De pronto se aumenta bruscamente la presión externa colocando una pesa sobre el pistón, de forma que la nueva presión externa pasa a ser $p 1 = r p 0 > p 0$ . El gas se comprime hasta que las presiones interna y externa vuelven a coincidir.

Halle la temperatura final y el volumen final ocupado por el gas.
Calcule el incremento de entropía del sistema
Supongamos que se trata de un gas diatómico a una presión inicial de 1 atm, una temperatura inicial 20°C y un volumen inicial de 100 cm³. Si la presión final es de 2 atm. ¿Cuál es el volumen y la temperatura finales, el trabajo realizado sobre el sistema y el aumento de entropía? Compárense estos resultados con lo que se obtienen en una compresión adiabática reversible desde 1 a 2 atm.

2 Temperatura y volumen final

Al no tratarse de un proceso reversible, aunque se trata de un proceso adiabático no podemos usar la ecuación de Poisson $p V γ = cte$ , sino que debemos ir a los conceptos básicos.

Tenemos que el proceso es adiabático, por lo que en él

$Q=0\,$

De acuerdo con el primer principio de la termodinámica, todo el trabajo realizado sobre el sistema se emplea en aumentar la energía interna

$W = \Delta U\,$

El trabajo lo podemos calcular sabiendo que la presión externa es constante en todo el proceso

$W = -\int_{V_0}^{V_1}p_1\,\mathrm{d}V = -p_1(V_1-V_0)$

El aumento de la energía interna lo podemos relacionar con el incremento de temperatura. Para un gas ideal

$\Delta U = nc_v(T_1-T_0) = \frac{c_v}{R}\left(nRT_1-nRT_0\right)=\frac{1}{\gamma-1}\left(p_1V_1-p_0V_0\right)$

Igualando el trabajo al aumento de la energía interna

$-p_1(V_1-V_0) = \frac{p_1V_1-p_0V_0}{\gamma-1}$ $\Rightarrow$ $V_1 = \left(\frac{(\gamma-1)p_1+p_0}{p_1\gamma}\right)V_0=\left(\frac{(\gamma-1)r+1}{\gamma r}\right)V_0$

con $r = p 1 / p 0$ .

Una vez que tenemos el volumen final tenemos la temperatura

$T_1 = \frac{p_1V_1}{p_0V_0}T_0 = \left(\frac{(\gamma-1)r+1}{\gamma}\right)T_0$

3 Aumento de entropía

El aumento de entropía lo calculamos a partir del conocimiento de la entropía de un gas ideal como función de la temperatura y la presión

$\Delta S = n c_p \ln\left(\frac{T_1}{T_0}\right)- nR \ln\left(\frac{p_1}{p_0}\right)= nc_p\ln\left(\frac{(1-\gamma)r+1}{\gamma}\right)-n R\ln(r) = \frac{p_0V_0}{T_0}\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\ln\left(\frac{(1-\gamma)r+1}{\gamma}\right)-\ln(r)\right)$