Potencial de dos cargas puntuales

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 20:22 13 ene 2010

1 Enunciado

Halle el potencial creado por dos cargas $q 1$ , $- q 2$ situadas a una distancia $a$ una de la otra. Demuestre que la superficie equipotencial $V = 0$ es una esfera.

2 Solución

El potencial creado por estas dos cargas en cualquier punto del espacio es

$\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}-\frac{q_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)$

La equipotencial V=0 vendrá dada por la ecuación

$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q_1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|}-\frac{q_2}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|}\right)=0$

No es evidente que ésta sea la ecuación de una esfera. Para ponerlo de manifiesto reescribimos la ecuación como

$\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2\right|=\gamma \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1\right|$ $\gamma=\frac{q_2}{q_1}$

Supondremos, sin pérdida de generalidad, que $γ < 1$ , esto es, que $q 2$ es la menor en magnitud de las dos cargas.

Podemos tomar el origen de coordenadas en la carga $q 1$ y el eje Z el que pasa por las dos cargas, de forma que $\mathbf{r}_2=a\mathbf{u}_z$ . Expresando el vector de posición en cartesianas esta ecuación queda

$\sqrt{x^2+y^2+(z-a)^2}=\gamma \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Elevando al cuadrado y agrupando términos

$\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1-\gamma^2\right)-2za + a^2 = 0$

Esta es ya claramente la ecuación de una esfera. Para identificar su radio y la posición del centro, despejamos y competamos cuadrados

$x^2+y^2+z^2-2z\frac{a}{1-\gamma^2} + \frac{a^2}{1-\gamma^2} = 0$ $x^2+y^2+\left(z-\frac{a}{1-\gamma^2}\right)^2 = \frac{a^2}{(1-\gamma^2)^2}-\frac{a^2}{1-\gamma^2}=\frac{a^2\gamma^2}{(1-\gamma^2)^2}$

De aquí obtenemos el radio y el centro de la esfera $R = \frac{a\gamma}{1-\gamma^2}$ $\mathbf{C}=\frac{a\mathbf{u}_z}{1-\gamma^2}$

Dado que $\mathbf{C}\neq \mathbf{0}$ y $\mathbf{C}\neq \mathbf{r}_2$ , la esfera no está centrada en ninguna de las dos cargas

Puesto que $|\mathbf{C}|-R < a < |\mathbf{C}|+R$ , esta esfera envuelve a la menor de las dos cargas, aunque no está centrada en ella.

Sólo la equipotencial $V = 0$ es una esfera. El resto de las equipotenciales tienen formas más complicadas, no esféricas.

@@ Línea 13: / Línea 13: @@
 No es evidente que ésta sea la ecuación de una esfera. Para ponerlo de manifiesto reescribimos la ecuación como
-<center><math>\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2|=\gamma \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1|</math>{{qquad}}<math>\gamma=\frac{q_2}{q_1}</math></center>
+<center><math>\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_2\right|=\gamma \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_1\right|</math>{{qquad}}<math>\gamma=\frac{q_2}{q_1}</math></center>
+Supondremos, sin pérdida de generalidad, que <math>\gamma < 1</math>, esto es, que <math>q_2</math> es la menor en magnitud de las dos cargas.
 Podemos tomar el origen de coordenadas en la carga <math>q_1</math> y el eje Z el que pasa por las dos cargas, de forma que <math>\mathbf{r}_2=a\mathbf{u}_z</math>. Expresando el vector de posición en cartesianas esta ecuación queda
@@ Línea 25: / Línea 27: @@
 Esta es ya claramente la ecuación de una esfera. Para identificar su radio y la posición del centro, despejamos y competamos cuadrados
-<center><math>x^2+y^2+z^2-2z\frac{a}{1-\gamma^2} + a^2 = 0</math></center>
+<center><math>x^2+y^2+z^2-2z\frac{a}{1-\gamma^2} + \frac{a^2}{1-\gamma^2} = 0</math></center>
+<center><math>x^2+y^2+\left(z-\frac{a}{1-\gamma^2}\right)^2  = \frac{a^2}{(1-\gamma^2)^2}-\frac{a^2}{1-\gamma^2}=\frac{a^2\gamma^2}{(1-\gamma^2)^2}</math></center>
+[[Imagen:potencial2cargasb.png|267px|right]]De aquí obtenemos el radio y el centro de la esfera
+<center><math>R = \frac{a\gamma}{1-\gamma^2}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{C}=\frac{a\mathbf{u}_z}{1-\gamma^2}</math></center>
-<center><math>x^2+y^2+\left(z-\frac{a}{1-\gamma^2}\right)  = \frac{a^2}{(1-\gamma^2)^2}-\frac{a^2}{1-\gamma^2}=\frac{a^2\gamma^2}{(1-\gamma^2)^2}</math></center>
+* Dado que <math>\mathbf{C}\neq \mathbf{0}</math> y <math>\mathbf{C}\neq \mathbf{r}_2</math>, la esfera no está centrada en ninguna de las dos cargas
+* Puesto que <math>|\mathbf{C}|-R < a < |\mathbf{C}|+R</math>, esta esfera envuelve a la menor de las dos cargas, aunque no está centrada en ella.
+* Sólo la equipotencial <math>V=0</math> es una esfera. El resto de las equipotenciales tienen formas más complicadas, no esféricas.
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