Partícula elíptica en campo eléctrico oblicuo

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 22:45 12 ene 2010

Contenido

1 Planteamiento
2 Coordenadas elípticas
3 Solución para el potencial
4 Momento dipolar
5 Torque

1 Planteamiento

Tenemos una elipse de semiejes $a$ y $b$ ( $a > b$ ) recubierta de una capa doble. La partícula está sometida a un campo eléctrico que en el infinito es uniforme y forma un ángulo $α$ con el semieje mayor.

El problema del potencial se convierte en la solución de la ecuación de Laplace

$\nabla^2\phi = 0$

con la condición de Neumann en la superficie de la partícula

$\mathbf{n}\cdot\nabla\phi = 0\qquad(\mathbf{r}\in S)$

y con el comportamiento asintótico

$\phi\to -E_0(x\cos\alpha+y\sin\alpha)\,$

2 Coordenadas elípticas

Para resolver el problema eléctrico empleamos las coordenadas elípticas definidas por

$x = c \cosh\xi\cos\eta\,$ $y = c \sinh\xi\sin\eta\,$

con

$c = \sqrt{a^2-b^2}$

En estas coordenadas la superficie de la elipse viene definida por

$\xi=\xi_0=\,\mathrm{arctanh}\left(\frac{b}{a}\right)$

Para estas coordenadas tenemos los factores de escala

$h_\xi = h_\eta = h = \sqrt{\cosh^2\xi-\cos^2\eta}$

Al ser iguales, la ecuación de Laplace preseva su forma, de manera que hay que resolver

$\frac{\partial^2\phi}{\partial\xi^2}+\frac{\partial^2\phi}{\partial\eta^2}=0$

con la condición de Neumann

$\frac{\partial\phi}{\partial\xi}=0\qquad(\xi=\xi_0)\,$

y con la condición de que en el infinito

$\phi\to-E_0c(\cosh\xi\cos\eta\cos\alpha+\sinh\xi\sin\eta\sin\alpha)\,$

3 Solución para el potencial

La solución se halla simplemente observando que la condición de que a grandes distancias

$\cosh(\xi)\sim \frac{\mathrm{e}^\xi}{2}$ $\sinh(\xi)\sim \frac{\mathrm{e}^\xi}{2}$

lo que nos permite sustituir el potencial en el infinito por

$\phi\sim -\frac{E_0c\mathrm{e}^{\xi}}{2}\cos(\eta-\alpha)$

y esta, que ya es de por sí una solución de la ecuación de Laplace, nos dice cual es la solución del problema completo (que en $\xi = \xi_0\,$ tiene derivada nula). El potencial es

$\phi= -E_0c\mathrm{e}^{\xi_0}\cosh(\xi-\xi_0)\cos(\eta-\alpha)$

mientras que la función corriente, que nos da las líneas de campo, es

$\psi = -E_0c\mathrm{e}^{\xi_0}\sinh(\xi-\xi_0)\sin(\eta-\alpha)$

4 Momento dipolar

Para ver que esto equivale a un campo uniforme más un dipolo tenemos que demostrar que su comportamiento en puntos alejados va como

$\phi \sim -E_0(x\cos\alpha+y\sin\alpha) + \frac{Px+P_y y}{x^2+y^2}$

Para ello, en primer lugar, restamos el comportamiento asintótico

$\begin{array}{rcl}\Delta\phi & = & \phi + E_0 c(\cosh\xi\cos\eta\cos\alpha+\sinh\xi\sin\eta\sin\alpha)= \\ & & \\ & = & -E_0c\left((\mathrm{e}^{\xi_0}\cosh(\xi-\xi_0)-\cosh\xi)\cos\eta\cos\alpha+(\mathrm{e}^{\xi_0}\cos(\xi-\xi_0)-\sinh\xi)\sin\eta\sin\alpha\right)\end{array}$

Analizando los dos factores tenemos

$\mathrm{e}^{\xi_0}\cosh(\xi-\xi_0)-\cosh\xi = \frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{\xi}+\mathrm{e}^{-\xi+2\xi_0}-\mathrm{e}^{\xi}-\mathrm{e}^{-\xi}\right) = \frac{\mathrm{e}^{\xi_0}\sinh(\xi_0)}{\mathrm{e}^{\xi}}$ $\mathrm{e}^{\xi_0}\cosh(\xi-\xi_0)-\sinh\xi = \frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{\xi}+\mathrm{e}^{-\xi+2\xi_0}-\mathrm{e}^{\xi}+\mathrm{e}^{-\xi}\right) = \frac{\mathrm{e}^{\xi_0}\cosh(\xi_0)}{\mathrm{e}^{\xi}}$

y por tanto

$\Delta\phi = -\frac{E_0c\mathrm{e}^{\xi_0}}{\mathrm{e}^\xi}\left(\sinh\xi_0\cos\eta\cos\alpha+\cosh\xi_0\sin\eta\sin\alpha\right)$

Para ver que esto es el potencial de una línea bifilar

5 Torque

Podemos calcular el tensor de tensiones de Maxwell también en coordenadas elípticas

$\mathbf{T}^e = \varepsilon\mathbf{E}\mathbf{E}-\frac{\varepsilon}{2}E^2\mathbf{I}$

El torque (por unidad de longitud) sobre el sistema vendrá dado por

$\mathbf{M}=\oint \mathbf{r}\times\mathbf{T}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}$

donde como superficie de integración podemos considerar un cilindro de gran radio, que es una superficie coordenada para $ξ = cte$

@@ Línea 79: / Línea 79: @@
 <center><math>\Delta\phi = -\frac{E_0c\mathrm{e}^{\xi_0}}{\mathrm{e}^\xi}\left(\sinh\xi_0\cos\eta\cos\alpha+\cosh\xi_0\sin\eta\sin\alpha\right)</math></center>
+Para ver que esto es el potencial de una línea bifilar
 ==Torque==

Partícula elíptica en campo eléctrico oblicuo

De Laplace

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2 Coordenadas elípticas

3 Solución para el potencial

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