Campo debido a una esfera cargada uniformemente
De Laplace
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<center><math>\phi=\phi(r)\,</math>{{tose}}<math>\mathbf{E}=-\frac{\partial\phi}{\partial r}\mathbf{u}_r-\frac{1}{r}\overbrace{\frac{\partial\phi}{\partial\theta}}^{=0}\mathbf{u}_\theta-\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\overbrace{\frac{\partial\phi}{\partial\varphi}}^{=0}\mathbf{u}_\varphi=E(r)\mathbf{u}_r</math></center> | <center><math>\phi=\phi(r)\,</math>{{tose}}<math>\mathbf{E}=-\frac{\partial\phi}{\partial r}\mathbf{u}_r-\frac{1}{r}\overbrace{\frac{\partial\phi}{\partial\theta}}^{=0}\mathbf{u}_\theta-\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\overbrace{\frac{\partial\phi}{\partial\varphi}}^{=0}\mathbf{u}_\varphi=E(r)\mathbf{u}_r</math></center> | ||
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| + | Si calculamos el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica de radio <math>r</math> concéntrica con la esfera de carga obtenemos | ||
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| + | <center><math>\Phi_\mathrm{e}\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\oint \left(E(r)\mathbf{u}_r\right)\cdot\left(\mathrm{d}S\,\mathbf{u}_r\right)=\oint E(r)\,\mathrm{d}S</math></center> | ||
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| + | Al tratarse de dos vectores paralelos, el integrando se reduce al producto de las dos componentes radiales. Por otro lado, por ser la superficie de integración una esfera (<math>r=\mathrm{cte}</math>) y ser el campo central la componente radial del campo es la misma sobre todos los puntos de la superficie y puede extraerse de la integral | ||
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| + | <center><math>\Phi_e = \oint E(r)\,\mathrm{d}S= E(r)\oint \mathrm{d}S =4\pi r^2 E</math></center> | ||
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| + | Nótese que lo que es constante es la componente radial del campo y no el propio campo, cuya dirección varía de un punto a otro de la superficie esférica. | ||
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| + | De acuerdo con la ley de Gauss, este flujo es igual a la carga encerrada, dividida por la permitividad del vacío | ||
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| + | <center><math>\oint \mathrm{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q_\mathrmn{int}}{\varepsilon_0}</math></center> | ||
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==Fuerza sobre un dipolo== | ==Fuerza sobre un dipolo== | ||
[[Categoría:Problemas de electrostática en el vacío]] | [[Categoría:Problemas de electrostática en el vacío]] | ||
Revisión de 17:00 9 ene 2010
1 Enunciado
Una esfera de radio R almacena una carga Q distribuida uniformemente en su volumen.
- Calcule el campo eléctrico producido por la esfera en todos los puntos del espacio.
- Halle la fuerza que experimenta un dipolo
situado en el interior de esta nube de carga.
2 Campo eléctrico
El campo eléctrico se determina de forma simple mediante la aplicación de la ley de Gauss.
Dada la simetría del sistema, podemos suponer que el potencial eléctrico debido a esta esfera depende exclusivamente de la distancia al centro de ella. Esto implica que el campo eléctrico debido a la esfera es central
Si calculamos el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica de radio r concéntrica con la esfera de carga obtenemos
Al tratarse de dos vectores paralelos, el integrando se reduce al producto de las dos componentes radiales. Por otro lado, por ser la superficie de integración una esfera (r = cte) y ser el campo central la componente radial del campo es la misma sobre todos los puntos de la superficie y puede extraerse de la integral
Nótese que lo que es constante es la componente radial del campo y no el propio campo, cuya dirección varía de un punto a otro de la superficie esférica.
De acuerdo con la ley de Gauss, este flujo es igual a la carga encerrada, dividida por la permitividad del vacío
