Campo de un anillo no uniforme
De Laplace
(Diferencias entre revisiones)
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| - | En el plano <math>XY</math> se encuentra una distribución de carga lineal, formando un anillo, de radio <math>R</math> y con una distribución de carga no uniforme dada, en coordenadas cilíndricas, por | + | [[Imagen:anillonouniforme.gif|right]]En el plano <math>XY</math> se encuentra una distribución de carga lineal, formando un anillo, de radio <math>R</math> y con una distribución de carga no uniforme dada, en coordenadas cilíndricas, por |
<center><math>\lambda=\lambda_0\cos\varphi'</math>{{qquad}}<math>\varphi'\in(-\pi,\pi]</math></center> | <center><math>\lambda=\lambda_0\cos\varphi'</math>{{qquad}}<math>\varphi'\in(-\pi,\pi]</math></center> | ||
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<center><math>\phi(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\pi}^\pi \frac{\lambda_0\cos\varphi'\,R\,\mathrm{d}\varphi'}{\sqrt{R^2+z^2}} = \frac{\lambda_0 R}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2+z^2}}\int_{-\pi}^\pi \cos\varphi'\,\mathrm{d}\varphi'=0</math></center> | <center><math>\phi(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\pi}^\pi \frac{\lambda_0\cos\varphi'\,R\,\mathrm{d}\varphi'}{\sqrt{R^2+z^2}} = \frac{\lambda_0 R}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2+z^2}}\int_{-\pi}^\pi \cos\varphi'\,\mathrm{d}\varphi'=0</math></center> | ||
| - | + | Obtenemos entonces que el potencial es nulo en todos los puntos del eje. | |
Puede entenderse este resultado observando que, cuando se tienen dos cargas iguales y opuestas, el potencial es nulo en los puntos que equidistan de ambas. En este anillo, cuya densidad de carga es positiva en un lado y negativa en el otro, los puntos diametralmente opuestos poseen cargas de la misma magnitud y signo contrario. Por ello, en el eje, que equidista de dos puntos diametralmente opuestos, las contribuciones al potencial se anulan dos a dos y queda un potencial total nulo. | Puede entenderse este resultado observando que, cuando se tienen dos cargas iguales y opuestas, el potencial es nulo en los puntos que equidistan de ambas. En este anillo, cuya densidad de carga es positiva en un lado y negativa en el otro, los puntos diametralmente opuestos poseen cargas de la misma magnitud y signo contrario. Por ello, en el eje, que equidista de dos puntos diametralmente opuestos, las contribuciones al potencial se anulan dos a dos y queda un potencial total nulo. | ||
Revisión de 22:55 8 ene 2010
Contenido |
1 Enunciado
![\varphi'\in(-\pi,\pi]](/wiki/images/math/0/4/4/044ea3bbccb9a391ff5ff855c1f626b0.png)
- Halle el potencial eléctrico producido por el anillo en los puntos del eje Z.
- Calcule el campo eléctrico producido por el anillo en el mismo eje.
- Demuestre que, para puntos alejados, su campo se comporta como el de un dipolo, ¿cuál sería el valor y la orientación de dicho dipolo?
2 Potencial en el eje
El potencial en el eje del anillo puede hallarse por integración directa, según la expresión
Tenemos que
Sustituyendo todo esto queda la integral
Obtenemos entonces que el potencial es nulo en todos los puntos del eje.
Puede entenderse este resultado observando que, cuando se tienen dos cargas iguales y opuestas, el potencial es nulo en los puntos que equidistan de ambas. En este anillo, cuya densidad de carga es positiva en un lado y negativa en el otro, los puntos diametralmente opuestos poseen cargas de la misma magnitud y signo contrario. Por ello, en el eje, que equidista de dos puntos diametralmente opuestos, las contribuciones al potencial se anulan dos a dos y queda un potencial total nulo.
