Campo de un anillo no uniforme

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Potencial en el eje
3 Campo en el eje
4 Desarrollo multipolar

1 Enunciado

En el plano

X Y

se encuentra una distribución de carga lineal, formando un anillo, de radio

R

y con una distribución de carga no uniforme dada, en coordenadas cilíndricas, por $\lambda=\lambda_0\cos\varphi'$ $\varphi'\in(-\pi,\pi]$

Halle el potencial eléctrico producido por el anillo en los puntos del eje $Z$ .
Calcule el campo eléctrico producido por el anillo en el mismo eje.
Demuestre que, para puntos alejados, su campo se comporta como el de un dipolo, ¿cuál sería el valor y la orientación de dicho dipolo?

2 Potencial en el eje

El potencial en el eje del anillo puede hallarse por integración directa, según la expresión

$\phi(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \lambda(\mathbf{r}')\frac{\mathrm{d}l'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}$

Tenemos que

$\lambda(\mathbf{r}')=\lambda_0\cos\varphi'$ $\mathbf{r}=z\mathbf{u}_z\,$ $\mathbf{r}'=R\mathbf{u}_{\rho'}\,$ $\mathbf{r}-\mathbf{r}'=-R\mathbf{u}_{\rho'}+z\mathbf{u}_z\,$ $|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|=\sqrt{R^2+z^2}$ $\mathrm{d}l'=|\mathrm{d}\mathbf{r}'|=R\,\mathrm{d}\varphi'$

Sustituyendo todo esto queda la integral

$\phi(z\mathbf{u}_z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\pi}^\pi \frac{\lambda_0\cos\varphi'\,R\,\mathrm{d}\varphi'}{\sqrt{R^2+z^2}} = \frac{\lambda_0 R}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2+z^2}}\int_{-\pi}^\pi \cos\varphi'\,\mathrm{d}\varphi'=0$

Obtenemos entonces que el potencial es nulo en todos los puntos del eje.

Puede entenderse este resultado observando que, cuando se tienen dos cargas iguales y opuestas, el potencial es nulo en los puntos que equidistan de ambas. En este anillo, cuya densidad de carga es positiva en un lado y negativa en el otro, los puntos diametralmente opuestos poseen cargas de la misma magnitud y signo contrario. Por ello, en el eje, que equidista de dos puntos diametralmente opuestos, las contribuciones al potencial se anulan dos a dos y queda un potencial total nulo.

3 Campo en el eje

Calculamos el campo en los puntos del eje también por integración directa, según la ley,

$\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \lambda(\mathbf{r}')\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\mathrm{d}l'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}$

Sustituyendo cada factor, calculado anteriormente, nos queda la integral vectorial

$\mathbf{E}(z\mathbf{u}_z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\pi}^\pi \frac{\lambda_0\cos\varphi'(-R\mathbf{u}_{\rho'}+z\mathbf{u}_z)\,R\,\mathrm{d}\varphi'}{(R^2+z^2)^{3/2}}$

A la hora de calcular esta integral vectorial hay que tener mucho cuidado con los vectores de la base que se empleen. Cuando se usa una base no cartesiana (la de cilíndricas, en este caso), esta base depende de la posición y por tanto debe tenerse en cuenta a la hora de integrar. Por ello, es casi siempre preferible el pasar a la base cartesiana, que posee la ventaja de que es independiente de la posición. En este caso

$\mathbf{u}_{\rho'}=\cos\varphi'\,\mathbf{u}_x+\,\mathrm{sen}\,\varphi'\mathbf{u}_y$

lo que nos deja la integral como

$\mathbf{E}(z\mathbf{u}_z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-\pi}^\pi \frac{\lambda_0\cos\varphi'(-R\cos\varphi'\mathbf{u}_x-R\,\mathrm{sen}\,\varphi'\mathbf{u}_y+z\mathbf{u}_z)\,R\,\mathrm{d}\varphi'}{(R^2+z^2)^{3/2}}$

Separando en las tres componentes, tenemos, para la componente $x$

$E_x(z\mathbf{u}_z) = -\frac{\lambda_0R^2}{4\pi\varepsilon_0(R^2+z^2)^{3/2}}\int_{-\pi}^\pi \cos^2\varphi'\mathrm{d}\varphi'=-\frac{\lambda_0R^2}{4\varepsilon_0(R^2+z^2)^{3/2}}$

para la $y$

$E_y(z\mathbf{u}_z) = -\frac{\lambda_0R^2}{4\pi\varepsilon_0(R^2+z^2)^{3/2}}\int_{-\pi}^\pi \cos\varphi'\,\mathrm{sen}\,\varphi'\mathrm{d}\varphi'=0$

y para la $z$

$E_x(z\mathbf{u}_z) = \frac{\lambda_0Rz}{4\pi\varepsilon_0(R^2+z^2)^{3/2}}\int_{-\pi}^\pi \cos\varphi'\mathrm{d}\varphi'=0$

Reuniendo los tres resultados queda finalmente

$\mathbf{E}(z\mathbf{u}_z) = -\frac{\lambda_0R^2}{4\varepsilon_0(R^2+z^2)^{3/2}}\mathbf{u}_x$

En particular en el centro del anillo

$\mathbf{E}(\mathbf{0}) = -\frac{\lambda_0}{4\varepsilon_0R}\mathbf{u}_x$

Puede parecer extraño el que, siendo el potencial eléctrico nulo en todos los puntos del eje, el campo eléctrico, que es su gradiente, no lo sea.

Podemos verlo físicamente de una forma sencilla. El campo eléctrico va de las cargas positivas a las negativas, por ello, debe haber un campo que vaya de las $x$ positivas a las negativas en todos los puntos del eje, en particular en el centro del anillo. Por tanto, el campo no puede ser nulo en el eje.

Mátematicamente también se puede explicar de forma simple: un gradiente es un conjunto de tres derivadas y una derivada es un cociente entre dos incrementos. En particular, una derivada parcial respecto a $x$ es el cociente entre lo que varía el potencial entre dos valores próximos de x, y la diferencia entre estos dos valores

$\frac{\partial\phi}{\partial x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\phi(x+\Delta x)-\phi(x)}{\Delta x}$

pero, en el cálculo del primer apartado, nosotros no hallamos el valor del potencial para dos valores distintos de $x$ , sino para uno solo: el $x = 0$ , que corresponde al eje. Por tanto, no tenemos información suficiente para calcular su derivada respecto a $x$ , que puede ser 0 o no serlo.

Lo mismo ocurre con la derivada respecto a $y$ .

Para la derivada respecto a $z$ necesitamos ver cómo varía el potencial con $z$ en los puntos del eje. Eso sí lo sabemos, pues conocemos que el potencial es nulo en todos los puntos del eje, por tanto, lo más que nos permite hallar el primer apartado es que

$E_z(z\mathbf{u}_z) = -\frac{\partial\phi}{\partial z} = 0$

Resultado que coincide, por supuesto, con el calculado por integración directa.

4 Desarrollo multipolar

En puntos del eje alejados del anillo $z \gg R$ y el campo eléctrico se puede aproximar por

$\mathbf{E}(z\mathbf{u}_z) \simeq -\frac{\lambda_0R^2}{4\varepsilon_0z^3}\mathbf{u}_x$

Este es un campo dipolar. Lo que lo identifica como tal es el hecho de que decaiga con la distancia como $z$ ( $=|\mathbf{r}|$ ) al cubo. Si fuera una carga, decaería como $z$ al cuadrado y si fuera un momento superior como $z$ a la cuarta o más rápidamente.

Para ver la magnitud y la orientación del dipolo, escribimos la expresión de un campo dipolar

$\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{3(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{p}}{r^5}$

que para $\mathbf{r}=z\mathbf{u}_z$ da

$\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{-p_x\mathbf{u}_x-p_y\mathbf{u}_y+2p_z\mathbf{u}_z}{z^3}$

Comparando esta expresión con la del campo en puntos alejados obtenemos, para la componente $x$

$-\frac{\lambda_0R^2}{4\varepsilon_0} = -\frac{p_x}{4\pi\varepsilon_0}$ $\Rightarrow$ $p_x = \pi R^2\lambda\,$

para la $y$

$0 = -\frac{p_y}{4\pi\varepsilon_0}$ $\Rightarrow$ $p_y = 0\,$

y para la $z$

$0 = \frac{2p_z}{4\pi\varepsilon_0}$ $\Rightarrow$ $p_z = 0\,$

Por tanto, el momento dipolar del anillo es

$\mathbf{p}=\pi R^2 \mathbf{u}_x$

Este resultado coincide con el que se obtiene hallando directamente el momento dipolar a partir de la integral:

$\mathbf{p}=\int \lambda(\mathbf{r}')\mathbf{r}'\mathrm{d}l' = \int_{-\pi}^\pi \lambda_0\cos\varphi'(R\cos\varphi'\mathbf{u}_x+R\,\mathrm{sen}\,\varphi')R\mathrm{d}\varphi' = \pi R^2\lambda_0\mathbf{u}_x$

Este momento dipolar va dirigido de las cargas negativas a las positivas, por lo que que era previsible que resultara un dipolo en lla dirección y sentido de $+\mathbf{u}_x$

Igualmente, mediante el cálculo del momento monopolar, se obtiene que $Q = 0$ .

Este ejemplo muestra, no obstante, que del simple conocimiento del campo en los puntos del eje puede hallarse el momento dipolar del anillo. Una vez conocido este valor, puede emplearse para hallar el campo en puntos alejados del anillo, pero no situados en el eje (para los cuales no es posible el cálculo exacto mediante la integral). Sustituyendo en la expresión del campo dipolar, para $\mathbf{r}=x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+z\mathbf{u}_z$

$\mathbf{E}(\mathbf{r})\simeq \frac{R^2 \lambda_0}{4\varepsilon_0}\,\frac{(2x^2-y^2-z^2)\mathbf{u}_x+3xy\mathbf{u}_y+3xz\mathbf{u}_z}{(x^2+y^2+z^2)^{5/2}}$

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