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Trabajo en una y en dos etapas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Segunda etapa)
(→El proceso intermedio)
Línea 63: Línea 63:
====El proceso intermedio====
====El proceso intermedio====
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El trabajo que no hemos incluido es el de la compresión isóbara de C a D. El trabajo que se realiza sobre el sistema en este paso es
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<math>W_{C\to D} = p_C(V_D-V_C)\,</math>
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====Trabajo total====
====Trabajo total====

Revisión de 12:33 23 abr 2009

Contenido

1 Enunciado

Un gas diatómico se comprime adiabáticamente, de modo cuasiestático, desde 1 atm hasta 25 atm, siendo la temperatura inicial t = 25 °C. La compresión puede realizarse en una sola etapa o bien en dos: desde 1 atm hasta 5 atm primero, y desde 5 atm hasta 25 atm después, dejando que el gas se enfríe a presión constante hasta volver a su temperatura inicial entre las dos etapas.

  1. Dibuje los dos procesos en el diagrama PV .
  2. Determine cual de los dos procesos exige realizar un menor trabajo sobre el sistema.

Nota: No es necesario incluir el proceso intermedio de compresión a presión constante en el balance del trabajo realizado.

2 Introducción

Este problema pretende introducir algunos aspectos de la irreversibilidad que presenta los procesos termodinámicos reales. Para ello comparamos dos procesos con algunas características comunes:

  • En el primer proceso comprimimos un gas ideal de forma adiabática desde 1 a 25 atm. Esto correspondería a tener un cilindro con un pistón y a que presionáramos el pistón de forma lo suficientemente rápida como para que al gas no le de tiempo a intercambiar calor con el ambiente. En este caso todo el trabajo que realizamos sobre el sistema se invertirá en aumentar la energía interna.
  • En el segundo proceso, partimos del mismo estado inicial y subimos de nuevo hasta 25 atm pero en lugar de realizar la compresión de una vez, paramos a descansar cuando vamos por 5&atm;. Durante el periodo de descanso, al gas le da tiempo a enfriarse y volver a la temperatura inicial, que es la del ambiente. Esto lo hace cediendo calor y reduciendo la energía interna. Cuando volvemos a comprimir lo hacemos sobre un gas más frio que en el primer proceso, por lo que el trabajo del segundo paso será diferente.

En el balance de trabajo no incluiremos el trabajo del paso intermedio de enfriamiento porque "ocurre solo", esto es, se trata de un proceso espontáneo en el que el sistema cede calor al ambiente, y como tal irreversible. Al agente que está comprimiendo el pistón le basta con mantener la presión en este proceso.

3 Diagrama PV

4 Trabajo realizado sobre el sistema

4.1 En una sola etapa

Consideremos el proceso adiabático que lleva del estado inicial A al final, B.

En un proceso adiabático el sistema no intercambia calor con el ambiente. De acuerdo con el primer principio de la termodinámica, el incremento en la energía interna se debe exclusivamente al trabajo realizado sobre el sistema. A su vez, la energía interna de un gas ideal depende exclusivamente de su temperatura, por lo que

W_{A\to B} = \Delta U = n\,c_V\,\Delta T = n\,c_V(T_B-T_A)

Sustituyendo la ecuación de estado de los gases ideales

W_{A\to B} = \frac{c_V}{R}(p_BV_B-p_AV_A)=\frac{p_BV_B-p_AV_A}{\gamma-1}

(donde hemos usado la ley de Mayer, R = cp − cV = cV(γ − 1)).

En esta expresión conocemos la presión inicial, pA y la final pB. El volumen inicial lo podemos hallar como

V_A=\frac{nRT_A}{p_A}

El volumen final lo hallamos observando que el proceso es adiabático y reversible y por tanto se cumple lay de Poisson

p_AV_A^\gamma = p_BV_B^\gamma\,   \Rightarrow   V_B = V_A\left(\frac{p_A}{p_B}\right)^{1/\gamma}

Sustituyendo esto en la expresión del trabajo queda

W_{A\to B}=\frac{V_A}{\gamma-1}\left(p_B\left(\frac{p_A}{p_B}\right)^{1/\gamma}-p_A\right)=\frac{p_AV_A}{\gamma-1}\left(\left(\frac{p_B}{p_A}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}-1\right)=\frac{nRT_A}{\gamma-1}\left(r_{AB}^{(\gamma-1)/\gamma}-1\right)

donde llamamos rAB = pB / pA a la relación de presión entre el estado final y el inicial. En ete proceso esta relación vale 25.

4.2 En dos etapas

Consideramos ahora el camino quebrado de A a E, con una compresión adiabática de A a C, un enfriamiento isóbaro de C a D y otra compresión adiabática de D a E.

4.2.1 Primera etapa

En el paso de A a C el cálculo del trabajo es completamente análogo al caso de la compresión adiabática de A a B. El trabajo resultante vale

W_{A\to C}=\frac{nRT_A}{\gamma-1}\left(r_{AC}^{(\gamma-1)/\gamma}-1\right)

con rAC = pC / pA = 5 en este caso.

4.2.2 Segunda etapa

En la segunda compresión adiabática, el cálculo es idéntico a los dos anteriores

W_{D\to E}=\frac{nRT_D}{\gamma-1}\left(r_{DE}^{(\gamma-1)/\gamma}-1\right)=\frac{nRT_A}{\gamma-1}\left(r_{DE}^{(\gamma-1)/\gamma}-1\right)

donde en el último paso se ha aplicado que el sistema se ha enfriado hasta volver a la temperatura inicial y TD = TA. Puesto que la relación de presión rDE = pE / pD = 5, este trabajo tiene exactamente el mismo valor numérico que el de A a C, esto es que pasar de 5 a 25 atm requiere el mismo trabajo que ir de 1 a 5, pese a que es el cuádruple de incremento en la presión.

4.2.3 El proceso intermedio

El trabajo que no hemos incluido es el de la compresión isóbara de C a D. El trabajo que se realiza sobre el sistema en este paso es

W_{C\to D} = p_C(V_D-V_C)\,

4.2.4 Trabajo total

5 Comparación entre los dos trabajos

6 Valores numéricos

6.1 En una etapa

6.2 En dos etapas

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