Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Potencial vector magnético

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 1: Línea 1:
 +
==Definición==
De que el campo magnético sea [[campo solenoidal|solenoidal]] se deduce que puede escribirse como el rotacional de otro campo vectorial, denominado potencial vector magnético
De que el campo magnético sea [[campo solenoidal|solenoidal]] se deduce que puede escribirse como el rotacional de otro campo vectorial, denominado potencial vector magnético
 
 
<center><math>\nabla\cdot\mathbf{A}</math>{{tose}}<math>\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}</math></center>
<center><math>\nabla\cdot\mathbf{A}</math>{{tose}}<math>\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}</math></center>
-
de hecho, al demostrar la [[ley de Gauss para el campo magnético]] ya se da una expresión para este potencial vector
+
==Expresión integral==
 +
Al demostrar la [[ley de Gauss para el campo magnético]] ya se da una expresión para este potencial vector
<center><math>\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}\tau'</math></center>
<center><math>\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}\tau'</math></center>
-
sin embargo, esta expresión, aparte de que sólo vale para corrientes estacionarias, no es la única posible. Dado un campo magnético, existen infinitos potenciales vectores posibles, los cuales se diferencian en el gradiente de una función escalar arbitraria
+
sin embargo, esta expresión, aparte de que sólo vale para corrientes estacionarias, no es la única posible.
 +
 
 +
==Falta de unicidad==
 +
Dado un campo magnético, existen infinitos potenciales vectores posibles, los cuales se diferencian en el gradiente de una función escalar arbitraria
 
 
<center><math>\mathbf{A}_1=\mathbf{A}_2+\psi</math></center>
<center><math>\mathbf{A}_1=\mathbf{A}_2+\psi</math></center>
Línea 13: Línea 18:
siendo la demostración inmediata, sin más que tomar el rotacional de ambos miembros. La libertad de elección de <math>\psi</math> hace que podamos tener potenciales vectores muy diferentes para el mismo campo.
siendo la demostración inmediata, sin más que tomar el rotacional de ambos miembros. La libertad de elección de <math>\psi</math> hace que podamos tener potenciales vectores muy diferentes para el mismo campo.
 +
==Aplicaciones==
La utilidad del potencial vector es limitada, por su naturaleza vectorial, que hace que no reduzca sustancialmente el problema del cálculo de <math>\mathbf{B}</math>.  
La utilidad del potencial vector es limitada, por su naturaleza vectorial, que hace que no reduzca sustancialmente el problema del cálculo de <math>\mathbf{B}</math>.  
Línea 18: Línea 24:
La otra utilidad del potencial vector es su uso en deducciones teóricas acerca del campo magnético y para el electromagnético, Uno de estos casos es en el [[desarrollo multipolar magnético]].
La otra utilidad del potencial vector es su uso en deducciones teóricas acerca del campo magnético y para el electromagnético, Uno de estos casos es en el [[desarrollo multipolar magnético]].
 +
El potencial vector es útil a la hora de calcular flujos magnéticos, ya que
 +
 +
<center><math>\Phi_m = \int_S \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = \oint_\Gamma \mathbf{A}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}</math></center>
 +
 +
siendo <math>S</math> una superficie apoyada en &Gamma; y orientada según la regla de la mano derecha.
 +
 +
==Ejemplos==
 +
===Solenoide infinito===
 +
Para un solenoide cilíndrico de radio <math>a</math> y longitud finita, el campo magnético, obtenido empleando las leyes de la magnetostática, es igual a
 +
 +
<center><math>\mathbf{B}=\begin{cases}\mu_0nI\mathbf{u}_z & (\rho<a) \\ \mathbf{0} & (rho>a) \end{cases}</math></center>
 +
 +
Un potencial vector del que deriva este campo cumple las ecuaciones
 +
 +
<center><math>\nabla\cdot\mathbf{A}=0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}=\begin{cases}\mu_0nI\mathbf{u}_z & (\rho<a) \\ \mathbf{0} & (\rho>a) \end{cases}</math></center>
 +
 +
La primera de las dos ecuaciones es una condición extra que siempre podemos imponer para determinar un potencial vector. La segunda ecuación nos dice que las fuentes vectoriales de <math>\mathbf{A}</math> son uniformes y en la dirección Z dentro de un cilindro de radio <math>a</math> y nulas en el exterior. Estas ecuaciones son completamente ''análogas'' a las que verifica el campo magnético respecto de la densidad de corriente en el caso de un [[Campo_magnético_de_un_cable_cilíndrico|cable grueso]]. Por ello, la expresión para el potencial vector es la ''análoga'' a la del campo magnético en ese sistema;
 +
 +
<center><math>\mathbf{A}=\begin{cases}\displaystyle\frac{\mu_0nI\rho}{2}\mathbf{u}_\varphi & (\rho<a) \\ \displaystyle\frac{\mu_0nIa^2}{2\rho}\mathbf{u}_\varphi & (rho>a) \end{cases}</math></center>
 +
 +
===Dipolo magnético===
 +
Para un dipolo magnético puntual <math>\mathbf{m}</math>, situado en el origen de coordenadas, el potencial vector es igual a
 +
 +
<center><math>\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}</math></center>
 +
 +
Esta expresión es análoga al potencial eléctrico de un [[dipolo eléctrico]] <math>\mathbf{p}</math>
 +
 +
<center><math>\phi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{r^3}</math></center>
 +
 +
cambiando el producto escalar por el vectorial.
[[Categoría:Campo magnético de corrientes estacionarias]]
[[Categoría:Campo magnético de corrientes estacionarias]]

Revisión de 19:12 23 mar 2009

Contenido

1 Definición

De que el campo magnético sea solenoidal se deduce que puede escribirse como el rotacional de otro campo vectorial, denominado potencial vector magnético

\nabla\cdot\mathbf{A}   \Rightarrow   \mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}

2 Expresión integral

Al demostrar la ley de Gauss para el campo magnético ya se da una expresión para este potencial vector

\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}\tau'

sin embargo, esta expresión, aparte de que sólo vale para corrientes estacionarias, no es la única posible.

3 Falta de unicidad

Dado un campo magnético, existen infinitos potenciales vectores posibles, los cuales se diferencian en el gradiente de una función escalar arbitraria

\mathbf{A}_1=\mathbf{A}_2+\psi

siendo la demostración inmediata, sin más que tomar el rotacional de ambos miembros. La libertad de elección de ψ hace que podamos tener potenciales vectores muy diferentes para el mismo campo.

4 Aplicaciones

La utilidad del potencial vector es limitada, por su naturaleza vectorial, que hace que no reduzca sustancialmente el problema del cálculo de \mathbf{B}.

Sirve como herramienta en los casos en que tenemos corrientes fluyendo siempre según la misma componente. Por ejemplo, si \mathbf{J} = J\mathbf{u}_z podemos suponer \mathbf{A} = A\mathbf{u}_z. Si \mathbf{J} = J(\rho,z)\mathbf{u}_\varphi podemos suponer \mathbf{A} = A(\rho,z)\mathbf{u}_\varphi. En estos casos el cálculo del potencial vector se reduce a determinar una sola componente, de forma similar a como se hace con el potencial escalar del campo electrostático. La otra utilidad del potencial vector es su uso en deducciones teóricas acerca del campo magnético y para el electromagnético, Uno de estos casos es en el desarrollo multipolar magnético.

El potencial vector es útil a la hora de calcular flujos magnéticos, ya que

\Phi_m = \int_S \mathbf{B}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S} = \oint_\Gamma \mathbf{A}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}

siendo S una superficie apoyada en Γ y orientada según la regla de la mano derecha.

5 Ejemplos

5.1 Solenoide infinito

Para un solenoide cilíndrico de radio a y longitud finita, el campo magnético, obtenido empleando las leyes de la magnetostática, es igual a

\mathbf{B}=\begin{cases}\mu_0nI\mathbf{u}_z & (\rho<a) \\ \mathbf{0} & (rho>a) \end{cases}

Un potencial vector del que deriva este campo cumple las ecuaciones

\nabla\cdot\mathbf{A}=0        \nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}=\begin{cases}\mu_0nI\mathbf{u}_z & (\rho<a) \\ \mathbf{0} & (\rho>a) \end{cases}

La primera de las dos ecuaciones es una condición extra que siempre podemos imponer para determinar un potencial vector. La segunda ecuación nos dice que las fuentes vectoriales de \mathbf{A} son uniformes y en la dirección Z dentro de un cilindro de radio a y nulas en el exterior. Estas ecuaciones son completamente análogas a las que verifica el campo magnético respecto de la densidad de corriente en el caso de un cable grueso. Por ello, la expresión para el potencial vector es la análoga a la del campo magnético en ese sistema;

\mathbf{A}=\begin{cases}\displaystyle\frac{\mu_0nI\rho}{2}\mathbf{u}_\varphi & (\rho<a) \\ \displaystyle\frac{\mu_0nIa^2}{2\rho}\mathbf{u}_\varphi & (rho>a) \end{cases}

5.2 Dipolo magnético

Para un dipolo magnético puntual \mathbf{m}, situado en el origen de coordenadas, el potencial vector es igual a

\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}

Esta expresión es análoga al potencial eléctrico de un dipolo eléctrico \mathbf{p}

\phi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{r^3}

cambiando el producto escalar por el vectorial.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Potencial_vector_magn%C3%A9tico"

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
 Aviso legal - Acerca de Laplace