Ley de Gauss para el campo magnético
De Laplace
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<center><math>\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right) = \frac{\mu _0}{4\pi}\int \nabla \times \left(\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}' \right|} \right)\,\mathrm{d}\tau'-\frac{\mu _0}{4\pi}\int \frac{\nabla\times\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}' \right|} \,\mathrm{d}\tau'</math></center> | <center><math>\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right) = \frac{\mu _0}{4\pi}\int \nabla \times \left(\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}' \right|} \right)\,\mathrm{d}\tau'-\frac{\mu _0}{4\pi}\int \frac{\nabla\times\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}' \right|} \,\mathrm{d}\tau'</math></center> | ||
| - | La segunda integral se anula porque <math>\mathbf{J}</math> es función de <math>\mathbf{r} | + | La segunda integral se anula porque <math>\mathbf{J}</math> es función de <math>\mathbf{r}'</math>, no de <math>\mathbf{r}</math>. En la primera se puede invertir el orden de la integral y el rotacional por actuar una sobre <math>\mathbf{r}'</math> y el otro sobre <math>\mathbf{r}</math>, resultando finalmente |
<center><math>\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right) = \nabla\times\left(\frac{\mu _0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}' \right|} \,\mathrm{d}\tau'\right)</math></center> | <center><math>\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right) = \nabla\times\left(\frac{\mu _0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{\left|\mathbf{r} - \mathbf{r}' \right|} \,\mathrm{d}\tau'\right)</math></center> | ||
Revisión de 17:36 21 mar 2009
Contenido |
1 Forma diferencial
Para calcular la divergencia del campo magnético, se parte de la ley de Biot y Savart para una distribución de corriente de volumen
y, operando se llega a que puede escribirse como
de donde es inmediato que
esto es, el campo magnético es un campo solenoidal: carece de fuentes escalares. Por analogía con el caso eléctrico, denominamos a esta ecuación Ley de Gauss para el campo magnético.
Físicamente, por analogía con el campo eléctrico, podemos decir que esta ley expresa que el campo magnético carece de fuentes escalares, esto es, que no existen las cargas magnéticas (conocidas como monopolos).
Realmente, la ecuación sólo la hemos demostrado para el campo creado por corrientes estacionarias. Sin embargo, la evidencia experimental muestra que es válida siempre: para corrientes, para imanes, en situaciones estacionarias o dinámicas. Es la experiencia la que indica que no existen los monopolos.
1.1 Demostración
Para demostrar la ley de Gauss para el campo magnético partiendo de la ley de Biot y Savart, hacemos uso de la identidad
lo que nos permite escribir la ley de Biot y Savart como
y aplicando la identidad vectorial
podemos separar el campo en dos integrales
La segunda integral se anula porque 
es función de 
, no de 
. En la primera se puede invertir el orden de la integral y el rotacional por actuar una sobre y el otro sobre , resultando finalmente
