Composición de dos rotaciones de 90° (CMR)
De Laplace
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# Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a <math>{OY}_1</math> y a continuación +90° en torno a un eje paralelo a <math>{OY}_1</math> por <math>\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_1</math>. ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos? | # Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a <math>{OY}_1</math> y a continuación +90° en torno a un eje paralelo a <math>{OY}_1</math> por <math>\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_1</math>. ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos? | ||
# Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a <math>{OY}_1</math> y a continuación −90° en torno a un eje paralelo a <math>{OZ}_1</math> por <math>\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_1</math>. ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos? | # Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a <math>{OY}_1</math> y a continuación −90° en torno a un eje paralelo a <math>{OZ}_1</math> por <math>\overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}_1</math>. ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos? | ||
| + | ==Introducción== | ||
| + | Cuando se tiene una rotación alrededor del origen, la transformación entre las coordenadas de un punto en el sistema ligado <math>(X,Y,Z)</math> y sus coordenadas en el sistema fijo <math>(x,y,z)</math> las da la matriz de rotación <math>\bar{\bar{R}}</math> | ||
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| + | <center><math>\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}R_{xx}& R_{xy}&R_{xz}\\ R_{yx}&R_{yy}&R_{yz}\\ R_{zx}&R_{zy}&R_{zz}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}X\\ Y\\ Z\end{pmatrix} </math></center> | ||
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| + | Si los ejes de los dos sistemas son coincidentes inicialmente, lo que ocurre a menudo, esta ecuación también nos da la relación entre las coordenadas antes y después de la rotación | ||
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| + | <center><math>\vec{r}_1=\bar{\bar{R}}\cdot\vec{r}_0</math></center> | ||
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| + | o, usando vectores de posición relativa | ||
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| + | <center><math>\overrightarrow{OP}^{\prime}=\bar{\bar{R}}\cdot\overrightarrow{OP}</math></center> | ||
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| + | Si la rotación no se produce alrededor del origen sino de un eje que pasa por un punto E, la expresión es la misma, pero respecto a dicho punto | ||
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| + | <center><math>\overrightarrow{EP}^{\prime}=\bar{\bar{R}}\cdot\overrightarrow{EP}</math></center> | ||
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| + | o, empleando coordenadas | ||
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| + | <center><math>\begin{pmatrix}x-x_E\\ y-y_E\\ z-z_E\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}R_{xx}& R_{xy}&R_{xz}\\ R_{yx}&R_{yy}&R_{yz}\\ R_{zx}&R_{zy}&R_{zz}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}X-x_E\\ Y-y_E\\ Z-z_E\end{pmatrix} </math></center> | ||
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| + | o, equivalentemente | ||
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| + | <center><math>\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_E\\ y_E\\ z_E\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}R_{xx}& R_{xy}&R_{xz}\\ R_{yx}&R_{yy}&R_{yz}\\ R_{zx}&R_{zy}&R_{zz}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}X-x_E\\ Y-y_E\\ Z-z_E\end{pmatrix} </math></center> | ||
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| + | es decir, | ||
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| + | <center><math>\vec{r}_1 = \vec{r}_E+\bar{\bar{R}}\cdot(\vec{r}_0-\vec{r}_E)=\left(\bar{\bar{1}}-\bar{\bar{R}}\right)\cdot\vec{r}_E + \bar{\bar{R}}\cdot\vec{r}_0</math></center> | ||
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| + | Al final, como siempre, el movimiento se reduce a una rotación seguida de una traslación. | ||
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| + | Si ahora tenemos dos movimientos consecutivos, basta aplicar primero uno, para obtener un punto intermedio, y luego aplicar el segundo movimiento a éste. | ||
==Primer caso== | ==Primer caso== | ||
| + | Una rotación de un ángulo θ en torno al eje OY se realiza mediante la matriz | ||
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| + | <center><math>\bar{\bar{R}}_y=\begin{pmatrix}\cos(\theta)& 0&\mathrm{sen}(\theta)\\ 0&1&0\\ -\mathrm{sen(\theta)&0&\cos(\theta)\end{pmatrix}</math></center> | ||
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| + | que para el caso de una rotación de +90°ree; se reduce a | ||
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| + | <center><math>\bar{\bar{R}}_y=\begin{pmatrix}0& 0&1\\ 0&1&0\\ -1&0&0\end{pmatrix}</math></center> | ||
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| + | y para una de −90°ree; | ||
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| + | <center><math>\bar{\bar{R}}_y^T=\begin{pmatrix}0& 0&-1\\ 0&1&0\\ 1&0&0\end{pmatrix}</math></center> | ||
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| + | Según esto, el resultado de la primera rotación es | ||
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| + | <center><math>\begin{pmatrix}x_1\\ y_1\\ z_1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0& 0&1\\ 0&1&0\\ -1&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}X\\ Y\\ Z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}Z\\ Y\\ -X\end{pmatrix}</math></center> | ||
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| + | El de la segunda, alrededor de un eje por (b,0,0) es | ||
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| + | <center><math>\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b\\ 0\\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0& 0&-1\\ 0&1&0\\ 1&0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}Z-b\\ Y\\ -X\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}b\\ 0\\ 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}X\\ Y\\ Z-b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X+b\\ Y\\ Z-b\end{pmatrix}</math></center> | ||
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| + | Por tanto, el resultado neto de los dos movimientos es | ||
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| + | <center><math>\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}X\\ Y\\ Z\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b\\ 0\\ -b\end{pmatrix}</math></center> | ||
| + | |||
| + | es decir, una traslación, | ||
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| + | <center><math>\vec{r}=\vec{r}_0+\Delta\vec{r}\qquad\qquad \Delta\vec{r}=b\vec{\imath}_1-b\vec{k}_1</math></center> | ||
==Segundo caso== | ==Segundo caso== | ||
==Tercer caso== | ==Tercer caso== | ||
Revisión de 11:25 11 dic 2020
Contenido |
1 Enunciado
Se tiene un sólido situado de tal manera que inicialmente los sistemas de referencia fijo, “1” y ligado, “2”, coinciden.
- Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a OY1 y a continuación −90° en torno a un eje paralelo a OY1 por
. ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?
- Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a OY1 y a continuación +90° en torno a un eje paralelo a OY1 por . ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?
- Supongamos que el sólido se hace girar en primer lugar +90° en torno a OY1 y a continuación −90° en torno a un eje paralelo a OZ1 por . ¿Cuál es el resultado de esta composición de movimientos?
2 Introducción
Cuando se tiene una rotación alrededor del origen, la transformación entre las coordenadas de un punto en el sistema ligado (X,Y,Z) y sus coordenadas en el sistema fijo (x,y,z) las da la matriz de rotación 
Si los ejes de los dos sistemas son coincidentes inicialmente, lo que ocurre a menudo, esta ecuación también nos da la relación entre las coordenadas antes y después de la rotación
o, usando vectores de posición relativa
Si la rotación no se produce alrededor del origen sino de un eje que pasa por un punto E, la expresión es la misma, pero respecto a dicho punto
o, empleando coordenadas
o, equivalentemente
es decir,
Al final, como siempre, el movimiento se reduce a una rotación seguida de una traslación.
Si ahora tenemos dos movimientos consecutivos, basta aplicar primero uno, para obtener un punto intermedio, y luego aplicar el segundo movimiento a éste.
3 Primer caso
Una rotación de un ángulo θ en torno al eje OY se realiza mediante la matriz
que para el caso de una rotación de +90°ree; se reduce a
y para una de −90°ree;
Según esto, el resultado de la primera rotación es
El de la segunda, alrededor de un eje por (b,0,0) es
Por tanto, el resultado neto de los dos movimientos es
es decir, una traslación,
