Corriente eléctrica

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 17:34 15 mar 2009

Contenido

1 Introducción
2 Densidades de corriente e intensidad de corriente
3 Ley de conservación de la carga
4 Ecuaciones del campo y de la corriente
5 Conductividad. Ley de Ohm
6 Conductores filiformes
7 Coeficientes de conductancia y circuitos equivalentes
- 7.1 Coeficientes de conductancia
- 7.2 Circuitos equivalentes
8 Consumo de energía eléctrica
9 Fuerza electromotriz. Generadores
- 9.1 Definición de fuerza electromotriz
10 Leyes de Kirchhoff
11 Corrientes no estacionarias
12 Corrientes de polarización
13 Problemas

1 Introducción

2 Densidades de corriente e intensidad de corriente

2.1 Densidad volumétrica de corriente

En situaciones no estáticas, las cargas que forman un sistema se encuentran en movimiento. Aunque todas las cargas que forman un material se encuentran en constante agitación, sólo una parte de ellas (los llamados portadores de carga poseen una velocidad promedio distinta de cero. La magnitud macroscópica que describe este movimiento colectivo es la densidad de corriente, definida como

$\mathbf{J} = \frac{1}{\Delta\tau}\sum_{q_i\in \Delta\tau} q_i\mathbf{v}_i$

siendo su unidad en el SI 1 A/m².

Esta densidad de corriente no tiene una relación directa con la densidad de carga, ya que es perfectamente posible que en un punto de un conductor la densidad de carga se anule (porque haya tantas cargas positivas como negativas), mientras que la densidad de corriente sea distinta de cero (por ejemplo, porque las negativas se estén moviendo y las positivas no). Sí existe relación con la densidad de portadores. Dentro de un material en el cual existe movimiento de cargas por el desplazamiento de una o varias especies (tipos de portadores, por ejemplo, en agua salada tendríamos al menos cuatro especies: OH⁻, H₃O⁺, Cl⁻, Na⁺), la densidad de corriente puede escribirse como

$\mathbf{J} =\sum_i (Z_ie) N_i \mathbf{v}_i$

siendo $N i$ la densidad de cada especie, $\mathbf{v}_i$ su velocidad neta promedio, o velocidad de arrastre, normalmente muy pequeña, y $Z i e$ su carga. En el caso común de un metal, en el que sólo los electrones se mueven $\mathbf{J} = -e N_e\mathbf{v}_e$ $. En un semiconductor tendremos un término debido a los electrones y otro debido a los huecos.

2.2 Densidad superficial de corriente

Del mismo modo que se define la densidad de corriente volumétrica también puede definirse la densidad de corriente superficial

$\mathbf{K} = \frac{1}{\Delta S}\sum_{q_i\in\Delta S} q_i\mathbf{v}_i$

Esta densidad será de interés cuando tengamos que los portadores de carga están concentrados en las superficies de los materiales.

2.3 Intensidad de corriente

Si consideramos el flujo de carga que atraviesa una determinada sección de un conductor, el resultado es la intensidad de corriente

$I = \int_S \mathbf{J}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}$

La intensidad de corriente, que se mide en amperios (A) en el SI, es un escalar con signo, indicando si el flujo es el sentido de la normal a la superficie o en el opuesto.

En el caso de una densidad de corriente superficial, puede obtenerse la intensidad de corriente que atraviesa una curva $Γ$ (trazada sobre la superficie, y que es atravesada por la corriente) como

$I=\int_\Gamma \mathbf{K}{\cdot}\mathbf{n}_1\mathrm{d}l$

siendo $\mathbf{n}_1$ un vector tangente a la superficie y normal a la curva $Γ$ .

3 Ley de conservación de la carga

Una de las propiedades básicas de la interacción electromagnética es que la carga se conserva localmente, esto es, no puede crearse ni destruirse una carga neta en ningún punto. Esto se traduce matemáticamente en que si en un volumen $τ$ la carga contenida disminuye, ello se debe al flujo al exterior a través de la frontera:

$-\frac{\mathrm{d}Q_\mathrm{int}}{\mathrm{d}t}= \oint \mathbf{J}{\cdot}d\mathbf{S}$

La versión diferencial de esta ley se escribe

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla{\cdot}\mathbf{J} = 0$

Asociada a la ley de conservación de la carga existe una condición de salto que relaciona las densidades de corriente a ambos lados de una interfaz entre dos medios. Esta condición es, en general

$\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{J}] + \nabla_s{\cdot}\mathbf{K} + \frac{\partial\sigma_s}{\partial t}=0$

siendo $\nabla_s{\cdot}\mathbf{K}$ la divergencia superficial de la densidad de corriente superficial. En muchos casos prácticos, no obstante, este término está ausente y la condición se reduce a una que liga el salto en $\mathbf{J}$ con la variación de cargas en la superficie.

En situaciones de corrientes estacionarias (independientes del tiempo), la densidad de corriente resulta ser un campo solenoidal

$\frac{\partial\rho}{\partial t}=0$ $\Rightarrow$ $\nabla{\cdot}\mathbf{J}=0$

Esto implica que, para corrientes estacionarias, si consideramos un tubo de corriente, la intensidad en dos secciones cualesquiera de él es la misma

$I_1 = \int_{S_1}\mathbf{J}{\cdot}d\mathbf{S} = \int_{S_2}\mathbf{J}{\cdot}d\mathbf{S} = I_2$

En situaciones no estacionarias esto no será cierto en general, ya que podrá haber acumulación de carga en los puntos intermedios.

En situaciones estacionarias la condición de salto (siempre que $\nabla_s{\cdot}\mathbf{K}=0$ ) se reduce a

$\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{J}]=0$

esto es, que la corriente que llega normalmente a la superficie debe coincidir con la que sale de ella.

En el caso particular de un electrodo perfectamente conductor, sumergido en un material por el cual puede fluir una corriente $\mathbf{J}$ , pero además alimentado por un cable (que lo une a un generador, por ejemplo), la ley de conservación de la carga puede desglosarse, separando la corriente que fluye por el medio, de la que entra hacia el electrodo por el cable de alimentación. Si denominamos $I$ a esta última, la ley de conservación en forma integral queda

$I=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}+\int\mathbf{J}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}$

donde $Q$ es la carga almacenada en el electrodo y el flujo de $\mathbf{J}$ se calcula a través del material que rodea al electrodo, excluyendo el cable. En esta forma, la ecuación se interpreta como que la corriente que llega al electrodo, parte se emplea en aumentar la carga almacenada y parte se escapa a través del medio circundante (lo que se denominan pérdidas). Nótese que sólo para esta clase de sistemas, y exclusivamente en el caso de que no haya pérdidas, se verificará la relación $I = d Q / d t$ , que en ningún caso puede considerarse una definición de intensidad de corriente, sino sólo como un caso muy particular de la ley de conservación de la carga.

4 Ecuaciones del campo y de la corriente

5 Conductividad. Ley de Ohm

Para obtener las distribuciones de corrientes de campos y corrientes en situaciones estacionarias, tenemos las ecuaciones

$\nabla{\cdot}\mathbf{J} = 0$ $\nabla\times\mathbf{E} = \mathbf{0}$

Sin embargo, como ocurre con los dieléctricos ideales, estas ecuaciones no son suficientes, ya que debemos tener una relación constitutiva que ligue la densidad de corriente con el campo que la produce.

En principio, dicha relación depende de la naturaleza del material conductor ya que no es lo mismo una disolución salina, que un metal, que un semiconductor o que un plasma. Sin embargo, se encuentra que para una gran variedad de situaciones, la relación entre $\mathbf{J}$ y $\mathbf{E}$ es de simple proporcionalidad

$\mathbf{J} = \sigma\mathbf{E}\,$

siendo ésta la llamada ley de Ohm. La constante de proporcionalidad $σ$ es la conductividad, que se mide en Siemens/metro (S/m) en el SI y que describe la facilidad con que las cargas fluyen a través del material. Los valores de $σ$ abarcan un amplísimo rango, desde casi 10⁸ S/m para muy buenos conductores como la plata y el cobre hasta valores tan bajos como 10⁻¹⁴ S/m para dieléctricos muy aislantes.

En ocasiones, en lugar de la conductividad se emplea como parámetro su inversa, la resistividad, $r = 1 / σ$ , que se mide en Ohmios·metro ( $\Omega{\cdot}\mathrm{m}$ ).

En los materiales óhmicos, la determinación del potencial eléctrico es muy parecida al cálculo en materiales dieléctricos lineales, empleando la conductividad en lugar de la permitividad. Se trata de resolver

$\nabla{\cdot}\mathbf{J} = 0 \qquad \mathbf{J} = -\sigma\nabla\phi$

con las condiciones de salto

$\mathbf{n}\times[\mathbf{E}]=\mathbf{0}$ $\mathbf{n}{\cdot}[\mathbf{J}]=0$

a las que hay que añadir las condiciones de contorno en aquellas superficies cuya tensión esté fijada, y las correspondientes a las superficies libres (en cuyo exterior está el vacío o un dieléctrico ideal) para las cuales $J n = 0$ .

6 Conductores filiformes

De entre los distintos conductores óhmicos, una configuración muy común es la del conductor filiforme, en el cual las dimensiones laterales del conductor son mucho más pequeñas que su radio de curvatura. El ejemplo más común es un cable conector.

Cuando se aplica una diferencia de potencial $V A - V B$ entre los extremos de un cable, se establece una corriente $I$ a lo largo de él, cuya densidad se puede suponer paralela al cable y uniforme sobre una sección transversal. En este caso, se verifica

$V_A-V_B = \int_A^B \mathbf{E}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} = \int_A^B\frac{\mathbf{J}}{\sigma}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r} = I \int_A^B\frac{\mathrm{d}l}{\sigma S} = I R$

La cantidad $R$ es la resistencia del conductor filiforme, medida en Ω en el SI. A esta relación entre voltaje y corriente también se la suele denominar ley de Ohm.

En el caso particular de un cable de longitud y conductividad constantes, la resistencia se reduce a $R = l / (σ S)$ .

La inversa de la resistencia se denomina \emph{conductancia}, $G$ y su unidad en el SI es el Siemens (1 S=1 Ω^-1). Para un conductor filiforme

$I=G(V_A-V_B)\,$

7 Coeficientes de conductancia y circuitos equivalentes

7.1 Coeficientes de conductancia

Un problema común de corrientes estacionarias en materiales óhmicos es la determinación de las corrientes que fluyen entre electrodos conductores perfectos, sumergidos en materiales resistivos. Este problema general incluye desde el caso común de un circuito con terminales conectados por cables, hasta situaciones generales de corrientes distribuidas en un fluido conductor como el agua.

En todos estos casos puede demostrarse que la corriente $I i$ que llega al electrodo $i$ desde el exterior, es una combinación lineal de las tensiones a las que se encuentran los electrodos

$I_i = \sum_j G_{ij} V_j\qquad \mathbf{I}=\mathsf{G}{\cdot}\mathbf{V}$

donde los $G i j$ elementos de la matriz \mathsf{G}, son los llamados \emph{coeficientes de conductancia}. Representan el análogo para corrientes de los coeficientes de capacidad para conductores en el vacío, y comparten muchas de sus propiedades (como el que forman una matriz simétrica, el que los elementos de la diagonal principal son positivos y el resto negativos o nulos).

Si se fijan los voltajes de los distintos nodos mediante fuentes de tensión, es posible determinar las corrientes que fluyen hacia cada nodo. También es posible fijar las corrientes, mediante fuentes de intensidad, y hallar las tensiones. Como caso particular está el caso de electrodo que no está conectado a ninguna fuente. Esto equivale a que la intensidad que fluye hacia este nodo sea nula.

7.2 Circuitos equivalentes

A partir de los coeficientes de conductancia es posible construir un circuito equivalente formado por resistencias, de forma que la corriente que llega a un nodo se puede expresar como

$I_1 = \overline{G}_{11}V_1 + \overline{G}_{12}(V_1-V_2)+\overline{G}_{13}(V_1-V_3)+\cdots$

Este circuito contiene un nodo por cada electrodo. Entre cada dos nodos hay una conductancia $o v e r l i n e G i j$ , y entre cada nodo y el electrodo de referencia (tierra) existe una conductancia adicional, $\overline{G}_{ii}$ , de valores

$\overline{G}_{ij}=-G_{ij}\qquad(i\neq j)$ $\overline{G}_{ii}=\sum_{j=1}^N G_{ij}$

Aparte, deben añadirse las fuentes de tensión o de intensidad conectadas a cada nodo.

En términos del circuito equivalente, la ley de conservación de la carga en el estado estacionario se expresa como si tenemos un nodo (el “1”, por ejemplo) al cual no llega ningún aporte externo de corriente, se verifica que

$0 = \overline{G}_{11}V_1 + \overline{G}_{12}(V_1-V_2) + \cdots$

denotando por $I 1 j$ la corriente que, en el circuito equivalente, fluye por la rama del nodo 1 al $j$ (siendo $j = 0$ la tierra), nos queda

$I_{10}+ I_{12}+I_{13} +\cdots = 0$

que es lo que se conoce habitualmente como ley de Kirchhoff para los nodos, aunque no tiene por qué aplicarse a un circuito formado por cables y conexiones puntuales.

8 Consumo de energía eléctrica

9 Fuerza electromotriz. Generadores

9.1 Definición de fuerza electromotriz

10 Leyes de Kirchhoff

11 Corrientes no estacionarias

12 Corrientes de polarización

13 Problemas

Artículo completo: Problemas de corriente eléctrica

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 ===Circuitos equivalentes===
+A partir de los coeficientes de conductancia es posible construir un circuito equivalente formado por resistencias, de forma que la corriente que llega a un nodo se puede expresar como
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+Este circuito contiene un nodo por cada electrodo. Entre cada dos nodos hay una conductancia <math>overline{G}_{ij}</math>, y entre cada nodo y el electrodo de referencia (tierra) existe una conductancia adicional, <math>\overline{G}_{ii}</math>, de valores
+<center><math>\overline{G}_{ij}=-G_{ij}\qquad(i\neq j)</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\overline{G}_{ii}=\sum_{j=1}^N G_{ij}</math></center>
+Aparte, deben añadirse las fuentes de tensión o de intensidad conectadas a cada nodo.
+En términos del circuito equivalente, la ley de conservación de la carga en el estado estacionario se expresa como si tenemos un nodo (el
+&ldquo;1&rdquo;, por ejemplo) al cual no llega ningún aporte externo de corriente, se verifica que
+<center><math>0 = \overline{G}_{11}V_1 + \overline{G}_{12}(V_1-V_2) + \cdots</math></center>
+denotando por <math>I_{1j}</math> la corriente que, en el circuito equivalente, fluye por la rama del nodo 1 al <math>j</math> (siendo <math>j=0</math> la tierra), nos queda
+<center><math>I_{10}+ I_{12}+I_{13} +\cdots = 0</math></center>
+que es lo que se conoce habitualmente como ley de Kirchhoff para los nodos, aunque no tiene por qué aplicarse a un circuito formado por cables y conexiones puntuales.
 ==Consumo de energía eléctrica==