Modelo esférico de generador

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 13:08 15 mar 2009

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Como modelo ideal de generador suponga el siguiente sistema: una esfera de radio $a$ de conductividad $σ 1$ se encuentra inmersa en un medio de conductividad $σ 2$ que se extiende hasta el infinito. En el interior de la esfera actúa una fuerza no electrostática por unidad de carga $\mathbf{E}' = E'_0\mathbf{u}_{z}$ , constante y uniforme.

Escriba las ecuaciones y condiciones de salto para la densidad de corriente, el campo y el potencial eléctrico en todo el espacio.
Sabiendo que en el interior de la esfera el potencial es de la forma

$\phi_1 = A r\cos\theta \qquad (r<a)$

y en el exterior de ella

$\phi_1 = \frac{B}{r^2}\cos\theta \qquad (r>a)$

calcule las constantes

A

y

B

.

Halle la potencia desarrollada por el campo eléctrico en el interior y el exterior de la esfera.
Considerando que la corriente es la que atraviesa el plano ecuatorial de la esfera ( $z = 0$ , $r < a$ ) determine la fuerza electromotriz, la resistencia interna y la externa del circuito equivalente.
¿A qué tienden los resultados cuando $\sigma_1 \ll \sigma_2$ ? ¿Y cuando $\sigma_1\gg \sigma_2$ ?

2 Solución

2.1 Introducción

Antes de pasar a la solución matemática del problema, vamos a interpretar el sistema físicamente.

Un generador es un dispositivo que puede producir una corriente eléctrica ejerciendo una fuerza no electrostática sobre las cargas eléctricas. Debe ser no electrostática pues un campo electrostático no puede producir trabajao neto sobre una curva cerrada y por tanto no puede mantener una corriente en un circuito cerrado. Como ejemplos de estas fuerzas tenemos fuerzas magnéticas, químicas o mecánicas.

Esta fuerza, que se representa por un campo efectivo $\mathbf{E}'=\mathbf{F}'/q$ , mueve a las cargas situadas en el interior del generador, separándolas y creando la aparición de un polo positivo (o ánodo) y uno negativo (o cátodo).

Esta separación de cargas provoca la aparición de un campo eléctrico, que irá de las cargas positivas a las negativas y tenderá a recombinarlas (actuando por tanto en contra del campo efectivo $\mathbf{E}'$ )).

Cuando el sistema está en circuito abierto, esto es, no hay conexión exterior entre los polos del generador, las cargas son separadas por el campo efectivo hasta que se alcanza el equilibrio. Éste se produce cuando el campo eléctrico (que va creciendo a medida que se separan las cargas) compensa exactamente al efectivo. La corriente eléctrica a partir de ese momento es nula. Hay que destacar que, a diferencia del campo efectivo, el campo eléctrico existe tanto dentro como fuera del generador.

Si se cierra el circuito, conectando los polos mediante un material óhmico, las cargas tienen la posibilidad de recombinarse viajando por el exterior del generador y así lo hacen, impulsadas por el campo eléctrico exterior. Esto quiere decir que la carga acumulada en los polos es menor que en circuito abierto y el campo eléctrico en el interior del generador será menor que el campo efectivo. Por tanto, en el interior el campo efectivo produce una densidad de corriente en su misma dirección y sentido, cuya intensidad deberá ser igual a la que fluye de vuelta por el exterior.

Por supuesto un modelo realista de generador implica un análisis de las fuerzas no electrostáticas implicadas, así como una complicada geometría (incluso en el caso de una simple pila de 1.5 V). Por ello, aquí consideraremos un modelo muy simplificado que mantiene los aspectos esenciales.

la forma del generador la supondremos esférica, que es la que permite mayor simplicidad en las ecuaciones. En el interior de esta esfera hay un campo efectivo que supondremos uniforme $\mathbf{E}'=E'_0\mathbf{u}_z$ . Este campo tira de las cargas positivas y las lleva hacia la parte positiva del eje Z (“arriba”) y de las negativas hacia la parte negativa del mismo eje (“abajo”). Aparecerán entonces dos polos: el ánodo arriba y el cátodo abajo. El campo eléctrico irá de las cargas positivas a las negativas, esto es, de arriba abajo tanto dentro como fuera de la esfera.

Para modelar las resistencias del circuito consideraremos que tanto el interior como el exterior pueden caracterizarse por sendas conductividades. La de dentro da la proporcionalidad entre la corriente interior y el campo total (eléctrico más efectivo) mientras que la de fuera relaciona la corriente exterior con el campo eléctrico exterior. Así, en lugar de considerar que los polos están conectados por un cable, nos imaginamos que el generador está sumergido en un líquido óhmico, de forma que todo el exterior funciona como el cable de conexión.

la corriente eléctrica, entonces, irá de abajo arriba por el interior (ya que el campo efectivo es mayor que el eléctrico) y de arriba abajo por el exterior.

Una vez que hagamos los cálculos, podremos sustituir el sistema por un circuito equivalente, consistente en una fuente ideal, una resistencia interna y una externa.

2.2 Ecuaciones y condiciones de salto

2.2.1 Ecuaciones

El sistema está formado por dos regiones: la interior (“1”) en $r < a$ , y la exterior (“2”) en $r > a$ . En cada una de ellas tendremos un cierto campo eléctrico $\mathbf{E}_i(\mathbf{r})$ , que debemos determinar.

Por tratarse de una situación estacionaria, el campo eléctrico en cada región es irrotacional

$\nabla\times\mathbf{E}_i = \mathbf{0}\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{E}_i=-\nabla\phi_i\,$

Igualmente, por ser la corrientes estacionarias, las densidades de corriente cumplen

$\nabla\cdot\mathbf{J}_i=0\,$

Para completar estas relaciones, precisamos de las relaciones constitutivas, que indicamos después.

2.2.2 Condiciones de salto

En la frontera entre las dos regiones debe cumplirse la continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico, que implica la continuidad del potencial eléctrico

$\mathbf{n}\times[\mathbf{E}]=\mathbf{0}\qquad(r=a)$ $\Rightarrow$ $\phi_1(r=a^-)=\phi_2(r=a^+)\,$

Por ser una situación estacionaria, no hay variación en la carga superficial y, por tratarse de materiales óhmicos, tampoco hay corrientes superficiales, con lo que la condición de salto para la densidad de corriente se reduce a

$\mathbf{n}\cdot[\mathbf{J}]=0\qquad(r=a)$

En esta condición de salto y en la anterior, el vector $\mathbf{n}$ es el normal a la superficie esférica, esto es

$\mathbf{n}=\mathbf{u}_r\,$

Además de estas condiciones de salto hay que imponer que el potencial eléctrico tiende a 0 en el infinito y que no es singular en el centro de la esfera 8en el que no hay carga puntual alguna)

$\phi_2\to 0\qquad(r\to\infty)$ $\phi_1\not\to\infty\qquad (r\to 0)$

2.2.3 Relaciones constitutivas

Para completar las ecuaciones y condiciones anteriores, necesitamos ecuaciones que liguen la densidad de corriente con el campo eléctrico.

En el exterior del generador esférico, la relación es simplemente la ley de Ohm

$\mathbf{J}_2=\sigma_2\mathbf{E}_2\,$ $\Rightarrow$ $\mathbf{J}_2=-\sigma_2\nabla\phi_2\,$

En el interior del generador no se cumple la ley de ohm, ya que las cargas no son movidas solamente por el campo electrostático, sino que también actúa sobre ellas el campo efectivo $\mathbf{E}'$ que es el que consigue vencer al campo eléctrico y separar las cargas. La densidad de corriente estará asociada a la superposición de estos efectos

$\mathbf{J}_1=\sigma_1(\mathbf{E}+\mathbf{E}')\,$

2.2.4 Ecuaciones para el potencial

Combinando todo lo anterior podemos expresar el problema como uno para el potencial eléctrico. Tenemos que en el exterior del generador el potencial cumple la ecuación de Laplace

$0 = \nabla\cdot\mathbf{J}_2=-\nabla\cdot(\sigma_2\nabla\phi)$ $\Rightarrow$ $\nabla^2\phi_2=0\,$

En coordenadas esféricas queda

$\frac{1}{r^2}\frac{\partial\ }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial\phi_2}{\partial r}\right)+ \frac{1}{r^2\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial\ }{\partial\theta}\left(\mathrm{sen}\,\theta\,\frac{\partial\phi_2}{\partial\theta}\right)=0$

No se han incluido el término con derivadas en $\varphi$ porque, dada la simetría del sistema (de revolución en torno al eje Z), el potencial no va a depender de esta coordenada. Sí va a depender de $θ$ ya que no es lo mismo estar por el lado del ánodo que por el del cátodo.

En el interior también se cumple la ecuación de Laplace, por ser $\mathbf{E}'$ un campo uniforme

$0 = \nabla\cdot\mathbf{J}_1=\nabla\cdot(\sigma_1(-\nabla\phi+\mathbf{E}_0'))$ $\Rightarrow$ $\nabla^2\phi_1=0\,$

y la expresión en coordenadas esféricas es idéntica a la que escribimos antes.

2.3 Potencial eléctrico

2.4 Potencia eléctrica

2.5 Circuito equivalente

2.6 Valores límite

@@ Línea 27: / Línea 27: @@
 Si se ''cierra el circuito'', conectando los polos mediante un material óhmico, las cargas tienen la posibilidad de recombinarse viajando por el exterior del generador y así lo hacen, impulsadas por el campo eléctrico exterior. Esto quiere decir que la carga acumulada en los polos es menor que en circuito abierto y el campo eléctrico en el interior del generador será menor que el campo efectivo. Por tanto, en el interior el campo efectivo produce una densidad de corriente en su misma dirección y sentido, cuya intensidad deberá ser igual a la que fluye de vuelta por el exterior.
+Por supuesto un modelo realista de generador implica un análisis de las fuerzas no electrostáticas implicadas, así como una complicada geometría (incluso en el caso de una simple pila de 1.5&thinsp;V). Por ello, aquí consideraremos un modelo muy simplificado que mantiene los aspectos esenciales.
+la forma del generador la supondremos esférica, que es la que permite mayor simplicidad en las ecuaciones. En el interior de esta esfera hay un campo efectivo que supondremos uniforme <math>\mathbf{E}'=E'_0\mathbf{u}_z</math>. Este campo tira de las cargas positivas y las lleva hacia la parte positiva del eje Z (&ldquo;arriba&rdquo;) y de las negativas hacia la parte negativa del mismo eje (&ldquo;abajo&rdquo;). Aparecerán entonces dos polos: el ánodo arriba y el cátodo abajo. El campo eléctrico irá de las cargas positivas a las negativas, esto es, de arriba abajo tanto dentro como fuera de la esfera.
+Para modelar las resistencias del circuito consideraremos que tanto el interior como el exterior pueden caracterizarse por sendas conductividades. La de dentro da la proporcionalidad entre la corriente interior y el campo total (eléctrico más efectivo) mientras que la de fuera relaciona la corriente exterior con el campo eléctrico exterior. Así, en lugar de considerar que los polos están conectados por un cable, nos imaginamos que el generador está sumergido en un líquido óhmico, de forma que todo el exterior funciona como el cable de conexión.
+la corriente eléctrica, entonces, irá de abajo arriba por el interior (ya que el campo efectivo es mayor que el eléctrico) y de arriba abajo por el exterior.
+Una vez que hagamos los cálculos, podremos sustituir el sistema por un circuito equivalente, consistente en una fuente ideal, una resistencia interna y una externa.
 ===Ecuaciones y condiciones de salto===

Modelo esférico de generador

De Laplace

Revisión de 13:08 15 mar 2009

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Introducción

2.2 Ecuaciones y condiciones de salto

2.2.1 Ecuaciones

2.2.2 Condiciones de salto

2.2.3 Relaciones constitutivas

2.2.4 Ecuaciones para el potencial

2.3 Potencial eléctrico

2.4 Potencia eléctrica

2.5 Circuito equivalente

2.6 Valores límite

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