Modelo esférico de generador
De Laplace
(→Condiciones de salto) |
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En la frontera entre las dos regiones debe cumplirse la continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico, que implica la continuidad del potencial eléctrico | En la frontera entre las dos regiones debe cumplirse la continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico, que implica la continuidad del potencial eléctrico | ||
| - | <center><math>\mathbf{n}\times[\mathbf{E}]=\mathbf{0}\qquad(r=a)</math>{{tose}}<math>\phi_1(r=a^-)=\phi_2(r=a^+)</math></center> | + | <center><math>\mathbf{n}\times[\mathbf{E}]=\mathbf{0}\qquad(r=a)</math>{{tose}}<math>\phi_1(r=a^-)=\phi_2(r=a^+)\,</math></center> |
Por ser una situación estacionaria, no hay variación en la carga superficial y, por tratarse de materiales óhmicos, tampoco hay corrientes superficiales, con lo que la condición de salto para la densidad de corriente se reduce a | Por ser una situación estacionaria, no hay variación en la carga superficial y, por tratarse de materiales óhmicos, tampoco hay corrientes superficiales, con lo que la condición de salto para la densidad de corriente se reduce a | ||
Revisión de 20:18 14 mar 2009
Contenido |
1 Enunciado
Como modelo ideal de generador suponga el siguiente sistema: una esfera de radio a de conductividad σ1 se encuentra inmersa en un medio de conductividad σ2 que se extiende hasta el infinito. En el interior de la esfera actúa una fuerza no electrostática por unidad de carga 
, constante y uniforme.
- Escriba las ecuaciones y condiciones de salto para la densidad de corriente, el campo y el potencial eléctrico en todo el espacio.
- Sabiendo que en el interior de la esfera el potencial es de la forma
- y en el exterior de ella
- calcule las constantes A y B.
- Halle la potencia desarrollada por el campo eléctrico en el interior y el exterior de la esfera.
- Considerando que la corriente es la que atraviesa el plano ecuatorial de la esfera (z = 0, r < a) determine la fuerza electromotriz, la resistencia interna y la externa del circuito equivalente.
- ¿A qué tienden los resultados cuando
? ¿Y cuando 
?
2 Solución
2.1 Ecuaciones y condiciones de salto
2.1.1 Ecuaciones
El sistema está formado por dos regiones: la interior (“1”) en r < a, y la exterior (“2”) en r > a. En cada una de ellas tendremos un cierto campo eléctrico 
, que debemos determinar.
Por tratarse de una situación estacionaria, el campo eléctrico en cada región es irrotacional
Igualmente, por ser la corrientes estacionarias, las densidades de corriente cumplen
Para completar estas relaciones, precisamos de las relaciones constitutivas, que indicamos después.
2.1.2 Condiciones de salto
En la frontera entre las dos regiones debe cumplirse la continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico, que implica la continuidad del potencial eléctrico
![\mathbf{n}\times[\mathbf{E}]=\mathbf{0}\qquad(r=a)](/wiki/images/math/9/3/9/939ccb995a414c4d3e44a88b806d22b7.png)
Por ser una situación estacionaria, no hay variación en la carga superficial y, por tratarse de materiales óhmicos, tampoco hay corrientes superficiales, con lo que la condición de salto para la densidad de corriente se reduce a
![\mathbf{n}\cdot[\mathbf{J}]=0\qquad(r=a)](/wiki/images/math/8/e/f/8ef518b382e26b50f35532d55f94a2c6.png)
En esta condición de salto y en la anterior, el vector 
es el normal a la superficie esférica, esto es
Además de estas condiciones de salto hay que imponer que el potencial eléctrico tiende a 0 en el infinito y que no es singular en el centro de la esfera 8en el que no hay carga puntual alguna)
