De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 09:17 26 sep 2018

1 Enunciado

Una partícula se desplaza sobre el eje $O X$ de modo que su aceleración cumple en cada instante $a (x) = - A 2 x$ , siendo $A$ una constante. En la posición inicial la velocidad de la partícula es $v 0$ . Determina la función $v (x)$ .

2 Solución

La aceleración es

$a(x) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$

Introducimos la regla de la cadena multiplicando y dividiendo por $d x$

$a(x) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}$

Como una derivada se puede entender como un cociente intercambiamos los dos números que aparecen en el denominador.

$a(x) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\,v$

Hemos usado que $v = d x / d t$ . Con esto nos ha quedado una ecuación diferencial en variables separables que se pueden integrar.

$v\,\mathrm{d}v = a(x)\,\mathrm{d}x \Longrightarrow \int v\,\mathrm{d}v = \int -Ax\,\mathrm{d}x \Longrightarrow \dfrac{1}{2}v^2 = -\dfrac{1}{2}Ax^2 + C$

Imponiendo la condición inicial

$C = \dfrac{v_0^2}{2}$

y por tanto

$v(x) = \sqrt{v_0^2 - Ax^2}$

Ahora podemos plantear la ecuación diferencial para $x (t)$

$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v(x) \Longrightarrow \dfrac{\mathrm{d}x}{v(x)} = \mathrm{d}t \Longrightarrow \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{v_0^2-Ax^2}} = \mathrm{d}t$

Para integrar hacemos el cambio

$x =\dfrac{v_0}{\sqrt{A}}\,\mathrm{sen}\,u \Longrightarrow \mathrm{d}x =\dfrac{v_0}{\sqrt{A}}\cos u\,\mathrm{d}u \Longrightarrow \dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{v_0^2-Ax^2}} = \dfrac{\mathrm{d}u}{\sqrt{A}}$

Integrando queda

$\int\dfrac{\mathrm{d}u}{\sqrt{A}} = \int \mathrm{d}t \Longrightarrow u = \sqrt{A}t + D$

Y entonces

$x = \dfrac{v_0}{\sqrt{A}}\,\mathrm{sen}\,(\sqrt{A}t + D)$

Si en $t = 0$ tenemos $x = x 0$ nos queda

$D = \,\mathrm{arcsen}\,\left(\dfrac{x_0\sqrt{A}}{v_0}\right)$

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
 = Enunciado =
-Una partícula se desplaza sobre el eje <math>OX</math> de modo que su aceleración cumple en cada instante <math>a(x) = -Ax</math>, siendo <math>A</math> una constante. En la posición inicial la velocidad de la partícula es <math>v_0</math>. Determina la función <math>v(x)</math>.
+Una partícula se desplaza sobre el eje <math>OX</math> de modo que su aceleración cumple en cada instante <math>a(x) = -A^2x</math>, siendo <math>A</math> una constante. En la posición inicial la velocidad de la partícula es <math>v_0</math>. Determina la función <math>v(x)</math>.
 = Solución =

Partícula con aceleración dependiente de x

De Laplace

Revisión de 09:17 26 sep 2018

1 Enunciado

2 Solución

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