Segunda Convocatoria Ordinaria 2017/18 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 11:57 17 sep 2018

1 Dos partículas unidas por una barra

Las partículas $A$ y $B$ , ambas con masa $m$ , están unidas por una barra rígida de longitud $2 L$ y masa despreciable. El punto $C$ es el punto medio de la barra. La partícula $A$ está obligada a moverse en el eje fijo $O X$ , como se indica en la figura. Este contacto es liso. La barra que une las partículas forma un ángulo $θ(t)$ con el eje $O X$ . La partícula $A$ se mueve con velocidad constante $\vec{v}_0 = v_0\,\vec{\imath}$ . En el instante inicial la partícula $A$ se encontraba en el punto $O$ y $θ(0) = 0$ . El sistema está sometido a la acción de la gravedad.

Encuentra la expresión de los vectores de posición $\vec{r}_A$ , $\vec{r}_B$ y $\vec{r}_C$ en función de $v 0$ , $L$ , $θ$ y $t$ .
Si el ángulo varía como $\theta(t)=\dfrac{v_0}{L}t$ , calcula la velocidad y aceleración de las partículas $A$ y $B$ y del centro de masas del sistema.
El movimiento descrito anteriormente está producido por una fuerza horizontal $\vec{F}_A$ aplicada sobre la partícula $A$ . Dibuja el diagrama de fuerzas del sistema y calcula la expresión de todas las fuerzas externas que actúan sobre él.
Calcula la energía cinética del sistema y su momento cinético respecto de $O$ en el instante $t 1 = π L / 2 v 0$ .
Supongamos ahora que la partícula $B$ se mueve de modo que la componente de su velocidad sobre el $O X$ es constante e igual a $2 v 0$ . Encuentra y resuelve la ecuación diferencial que debe cumplir $θ(t)$ para que esto sea posible.

2 Barra girando alrededor de otra barra horizontal

Una barra de longitud $L$ (sólido "0") puede rotar alrededor del eje $O Z 1$ con velocidad angular constante $\vec{\omega}_0$ , como se indica en la figura. El punto $O$ de la barra es fijo. La barra "0" siempre está contenida en el plano $O X 1 Y 1$ . Otra barra, también de longitud $L$ (sólido ``2), está conectada a la barra "0" por un pasador en el punto $A$ . El pasador desliza sobre la barra "0" con velocidad constante $v 0$ . Además, la barra "2" gira alrededor de la barra "0" con velocidad angular uniforme $\vec{\Omega}_0$ . En $t = 0$ la barra "0" estaba sobre el eje $O X 1 +$ , el extremo $A$ de la barra "2" estaba en el punto $O$ y el punto $B$ estaba en el plano $O X 1 Y 1$ . Los vectores $\vec{v}_0$ , $\vec{\omega}_0$ y $\vec{\Omega}_0$ apuntan en el sentido indicado en la figura.

Determina las reducciones cinemáticas ${01},{20},{21}$ .
Calcula las derivadas temporales de las reducciones cinemáticas del apartado anterior.
¿Qué tipo de movimiento es cada uno de ellos?
Sea $t 1$ el instante de tiempo para el cual $B$ está en el punto más alto de su trayectoria. Calcula $\vec{v}^{B}_{21}$ y $\vec{a}^B_{21}$ en ese instante.

@@ Línea 18: / Línea 18: @@
 ==[[ Barra girando alrededor de otra barra horizontal (Sep. 2018 G.I.C.)| Barra girando alrededor de otra barra horizontal ]]==
 [[Imagen:F1GIERM_barras_enunciado.png|right|250px]]
-Una barra de longitud <math>2d</math> y masa despreciable (sólido "0") puede rotar alrededor del eje <math>OZ_1</math>.
+Una barra de longitud <math>L</math> (sólido "0") puede rotar alrededor del eje <math>OZ_1</math>
+con velocidad angular constante <math>\vec{\omega}_0</math>, como se indica en la figura.
 El punto <math>O</math> de la barra es fijo. La barra "0" siempre está contenida en el
-plano <math>OX_1Y_1</math>. Otra barra, también de longitud <math>2d</math> y masa <math>m</math> (sólido
+plano <math>OX_1Y_1</math>. Otra barra, también de longitud <math>L</math> (sólido
-"2"), está conectada a la barra "0" por un pasador en el punto <math>A</math>. El
+``2''), está conectada a la barra "0" por un pasador en el punto <math>A</math>. El
-pasador desliza sobre la barra "0". Además, la barra "2" gira
+pasador desliza sobre la barra "0" con velocidad constante <math>v_0</math>. Además, la barra "2" gira
-alrededor de la barra "0". Un muelle de constante elástica <math>k</math> y longitud
+alrededor de la barra "0" con velocidad angular uniforme <math>\vec{\Omega}_0</math>.
-natural nula <math>l_0=d</math> conecta los puntos <math>O</math> y <math>A</math>.
+En <math>t=0</math> la barra "0" estaba sobre el eje <math>OX_1+</math>, el extremo <math>A</math> de la barra "2" estaba en el punto <math>O</math> y el punto <math>B</math> estaba
-#Determina las reducciones cinemáticas <math>\{01\}, \{20\}</math> y <math>\{21\}</math> en <math>G</math>.
+en el plano <math>OX_1Y_1</math>. Los vectores <math>\vec{v}_0</math>, <math>\vec{\omega}_0</math>  y <math>\vec{\Omega}_0</math> apuntan
-#Calcula  el momento cinético de la barra "2" respecto de <math>G</math>.
+en el sentido indicado en la figura.
-#A partir de ahora suponemos que <math>\phi=\dot{\phi}=\ddot{\phi}=0</math>, es decir, la coordenada <math>\phi</math> ya no es un grado de libertad. Escribe las ecuaciones de Lagrange del sistema.
+#Determina las reducciones cinemáticas <math>\{01\}, \{20\}, \{21\}</math>.
-#En <math>t=0</math> tenemos <math>s(0)=d</math>, <math>\theta(0)=-\pi/2</math>, <math>\dot{s}(0)=0</math> y <math>\dot{\theta}=0</math> (<math>\phi</math> sigue estando fijada).  La barra "2" recibe una percusión <math>\vec{\hat{F}} = [\hat{F}_0, 0, \hat{F}_0]_1</math> en el punto B. Determina el estado del sistema justo después de la percusión.
+#Calcula las derivadas temporales de las reducciones cinemáticas del apartado anterior.
+#¿Qué tipo de movimiento es cada uno de ellos?
+#Sea <math>t_1</math> el instante de tiempo para el cual <math>B</math> está en el punto más alto de su trayectoria.  Calcula <math>\vec{v}^{B}_{21}</math> y <math>\vec{a}^B_{21}</math> en ese instante.

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