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Fuerzas de interacción y aceleraciones en sistema de tres partículas, F1 GIA (Ene, 2018)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Relación entre aceleraciones de P_1 y P_2)
(→Relación entre aceleraciones de P_1 y P_2)
Línea 24: Línea 24:
Obtenemos las expresiones de las aceleraciones de estas partículas en el instante considerado y en términos de las intensidades <math>F_{ij}</math> de la fuerzas que actúan sobre ellas:
Obtenemos las expresiones de las aceleraciones de estas partículas en el instante considerado y en términos de las intensidades <math>F_{ij}</math> de la fuerzas que actúan sobre ellas:
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<center><math>m_1\!\ \vec{a}_1=-m_1\!\ a_1\!\ \vec{\jmath}=\left(F_{12}-\frac{F_{10}}{2}\right)\!\ \vec{\imath}\!\ -\ \frac{\sqrt{3}}{2}\ F_{10}\! \vec{\jmath}=\vec{F}_{12}+\vec{F}_{10}\;\; \Longleftgrightarrow \;\; \left\{\begin{array}{l}\displaystyle F_{10}=2\!\ F_{12}\\ \\ \displaystyle a_1=\frac{\sqrt{3}\!\ F_{10}}{2\!\ m_1}\end{array}\right. </math></center>
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<center><math>m_1\!\ \vec{a}_1=-m_1\!\ a_1\!\ \vec{\jmath}=\left(F_{12}-\frac{F_{10}}{2}\right)\!\ \vec{\imath}\!\ -\ \frac{\sqrt{3}}{2}\ F_{10}\! \vec{\jmath}=\vec{F}_{12}+\vec{F}_{10}\;\; \Longleftrightarrow \;\; \left\{\begin{array}{l}\displaystyle F_{10}=2\!\ F_{12}\\ \\ \displaystyle a_1=\frac{\sqrt{3}\!\ F_{10}}{2\!\ m_1}\end{array}\right. </math></center>
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<center><math>m_2\!\ \vec{a}_2=-m_2\!\ a_2\!\ \vec{\jmath}=\left(\frac{F_{20}}{2}-F_{12}\right)\!\ \vec{\imath}\!\ -\ \frac{\sqrt{3}}{2}\ F_{20}\!\\vec{\jmath}\;\;=\vec{F}_{20}+\vec{F}_{21} \Lonleftgrightarrow \;\; \left\{\begin{array}{l}\displaystyle F_{20}=2\!\ F_{12}\\ \\ \displaystyle a_2=\frac{\sqrt{3}\!\ F_{20}}{2\!\ m_2}\end{array}\right. </math></center>
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<center><math>m_2\!\ \vec{a}_2=-m_2\!\ a_2\!\ \vec{\jmath}=\left(\frac{F_{20}}{2}-F_{12}\right)\!\ \vec{\imath}\!\ -\ \frac{\sqrt{3}}{2}\ F_{20}\!\\vec{\jmath}\;\;=\vec{F}_{20}+\vec{F}_{21} \Lonleftrightarrow \;\; \left\{\begin{array}{l}\displaystyle F_{20}=2\!\ F_{12}\\ \\ \displaystyle a_2=\frac{\sqrt{3}\!\ F_{20}}{2\!\ m_2}\end{array}\right. </math></center>
Por tanto, la relación entre las intensidades de las aceleraciones de estás partículas en el instante considerado, es...
Por tanto, la relación entre las intensidades de las aceleraciones de estás partículas en el instante considerado, es...
<center><math>\frac{|\vec{a}_1|}{|\vec{a}_2|}=\frac{a_1}{a_2}=\frac{F_{10}/m_1}{F_{20}/m_2}\;\; \Longrightarrow</math>{{qquad}}<math style="border:solid violet 2px;padding:10px">\frac{|\vec{a}_1|}{|\vec{a}_2|}=\frac{2\!\ F_{12}/m_1}{2\!\ F_{12}/m_2}=\frac{m_2}{m_1}</math></center>
<center><math>\frac{|\vec{a}_1|}{|\vec{a}_2|}=\frac{a_1}{a_2}=\frac{F_{10}/m_1}{F_{20}/m_2}\;\; \Longrightarrow</math>{{qquad}}<math style="border:solid violet 2px;padding:10px">\frac{|\vec{a}_1|}{|\vec{a}_2|}=\frac{2\!\ F_{12}/m_1}{2\!\ F_{12}/m_2}=\frac{m_2}{m_1}</math></center>

Revisión de 11:01 20 ago 2018

1 Enunciado

Tres partículas PO, P1 y P2, de masas conocidas con valores m0, m1 y m2, respectivamente, interaccionan entre sí de manera que la fuerza \vec{F}_{ij} que la partícula Pj ejerce sobre la Pi, tiene la dirección del segmento \overrightarrow{P_jP_i} (es decir, \vec{F}_{ij}\parallel\pm\overrightarrow{P_jP_i}). En un determinado instante, las partículas ocupan los vértices de un triángulo equilátero; se adopta un sistema de referencia cartesiano OXYZ tal que dicho triángulo está contenido en plano OXY, con el segmento \overrightarrow{P_2P_1} paralelo al eje OX, y la partícula P0 en el punto O. En dicho instante, las aceleraciones de las partículas P1 y P2 tiene igual dirección y sentido, siendo paralelas y opuestas al eje OY; es decir \vec{a}_1=-a_1\!\ \vec{\jmath}\ y \ \vec{a}_2=-a_2\!\ \vec{\jmath}, respectivamente, con a_1\mathrm{,}\, a_2>0
  1. Determine qué relación verifican los módulos de dichas aceleraciones, |\vec{a}_1|/|\vec{a}_2|, en función de las masas de las partículas.
  2. Determine la dirección y el sentido de la aceleración \vec{a}_0 de la partícula P0. ¿Cuánto vale su módulo en relación con los módulos de las aceleraciones de P1 y P2?

2 Solución

Para resolver este ejercicio sólo es necesario aplicar las leyes de Dinámica para el punto material. La segunda ley de Newton y el principio de superposición establecen que la aceleración instantánea \vec{a}_i de la partícula Pi multiplicada por su masa inercial, es igual a la resultante de \vec{F}_i de las fuerzas que actúan en dicho instante sobre la partícula. Además, el principio de acción y reacción establece que las fuerzas de interacción entre cada par de partículas son opuestas; además, en el ejercicio propuesto, estas fuerzas son colineales con la recta que pasa por cada par de puntos:

m_i\!\ \vec{a}_i=\vec{F}_{ij}+\vec{F}_{ik}=\vec{F}_i\ \mathrm{,}\quad\mathrm{con}\;\;\, \vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}\;\|\; \pm \overrightarrow{P_iP_j} \mathrm{,}\quad\mathrm{para}\;\;\,i,j,k=0,1,2


Obsérvese que, a partir de las anteriores ecuaciones vectoriales y de que las direcciones y sentidos de las aceleraciones de las partículas P1 y P2 son conocidas, pueden determinarse también los sentidos de las fuerzas de interacción entre partículas (véase la correspondiente figura). Se tendrá, por tanto:
\begin{array}{l}\displaystyle \vec{F}_{12}= F_{12}\!\ \vec{\imath}=-\vec{F}_{21}\, \|\, \pm \overrightarrow{P_1P}_2\mathrm{,}\quad\mathrm{con}\;\;\,F_{12}>0\\ \\ \displaystyle \vec{F}_{10}= -F_{10}\!\ \left( \mathrm{cos}\!\ \frac{\pi}{3}\ \vec{\imath}\!\ +\!\ \mathrm{sen}\!\ \frac{\pi}{3}\ \vec{\jmath}\right)=-\vec{F}_{01}\, \|\, \pm \overrightarrow{P_0P}_1\mathrm{,}\quad\mathrm{con}\;\;\,F_{10}>0\\ \\ \displaystyle \vec{F}_{20}= F_{20}\!\ \left( \mathrm{cos}\!\ \frac{\pi}{3}\ \vec{\imath}\!\ -\!\ \mathrm{sen}\!\ \frac{\pi}{3}\ \vec{\jmath}\right)=-\vec{F}_{02}\, \|\, \pm \overrightarrow{P_0P}_2\mathrm{,}\quad\mathrm{con}\;\;\,F_{20}>0 \end{array}

Nótese que no tenemos información acerca de la naturaleza de las fuerzas de interacción mutua \vec{F}_{ij}, por lo que desconocemos el valor de sus intensidades o módulos, Fij. Sin embargo, no necesitamos esta información para resolver el ejercicio propuesto:

2.1 Relación entre aceleraciones de P1 y P2

Obtenemos las expresiones de las aceleraciones de estas partículas en el instante considerado y en términos de las intensidades Fij de la fuerzas que actúan sobre ellas:

m_1\!\ \vec{a}_1=-m_1\!\ a_1\!\ \vec{\jmath}=\left(F_{12}-\frac{F_{10}}{2}\right)\!\ \vec{\imath}\!\ -\ \frac{\sqrt{3}}{2}\ F_{10}\! \vec{\jmath}=\vec{F}_{12}+\vec{F}_{10}\;\; \Longleftrightarrow \;\; \left\{\begin{array}{l}\displaystyle F_{10}=2\!\ F_{12}\\ \\ \displaystyle a_1=\frac{\sqrt{3}\!\ F_{10}}{2\!\ m_1}\end{array}\right.
No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): m_2\!\ \vec{a}_2=-m_2\!\ a_2\!\ \vec{\jmath}=\left(\frac{F_{20}}{2}-F_{12}\right)\!\ \vec{\imath}\!\ -\ \frac{\sqrt{3}}{2}\ F_{20}\!\\vec{\jmath}\;\;=\vec{F}_{20}+\vec{F}_{21} \Lonleftrightarrow \;\; \left\{\begin{array}{l}\displaystyle F_{20}=2\!\ F_{12}\\ \\ \displaystyle a_2=\frac{\sqrt{3}\!\ F_{20}}{2\!\ m_2}\end{array}\right.

Por tanto, la relación entre las intensidades de las aceleraciones de estás partículas en el instante considerado, es...

\frac{|\vec{a}_1|}{|\vec{a}_2|}=\frac{a_1}{a_2}=\frac{F_{10}/m_1}{F_{20}/m_2}\;\; \Longrightarrow    \frac{|\vec{a}_1|}{|\vec{a}_2|}=\frac{2\!\ F_{12}/m_1}{2\!\ F_{12}/m_2}=\frac{m_2}{m_1}
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Fuerzas_de_interacci%C3%B3n_y_aceleraciones_en_sistema_de_tres_part%C3%ADculas,_F1_GIA_(Ene,_2018)"

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