Fuerzas de interacción y aceleraciones en sistema de tres partículas, F1 GIA (Ene, 2018)
De Laplace
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1 Enunciado
Tres partículas PO, P1 y P2, de masas conocidas con valores m0, m1 y m2, respectivamente, interaccionan entre sí de manera que la fuerza![\vec{F}_{ij}](/wiki/images/math/3/2/1/321e768e7a047da705e67575755b1640.png)
![\overrightarrow{P_jP_i}](/wiki/images/math/c/5/e/c5ec7543ebf093cd73f7cc6b3cbcb1b9.png)
![\vec{F}_{ij}\parallel\pm\overrightarrow{P_jP_i}](/wiki/images/math/5/a/a/5aa11c0907b3a8deccbf316c24f0c72a.png)
![\overrightarrow{P_2P_1}](/wiki/images/math/2/8/d/28d2ba93962da50676b1efbd417b81a2.png)
![\vec{a}_1=-a_1\!\ \vec{\jmath}\](/wiki/images/math/1/8/2/182fa492e06ddd25de191dea5f8706e2.png)
![\ \vec{a}_2=-a_2\!\ \vec{\jmath}](/wiki/images/math/3/b/9/3b92aa70d0a708a20c35eaa528d461bf.png)
![a_1\mathrm{,}\, a_2>0](/wiki/images/math/7/9/b/79bfd2f96eca7196d5185c75a97bf1c2.png)
- Determine qué relación verifican los módulos de dichas aceleraciones,
, en función de las masas de las partículas.
- Determine la dirección y el sentido de la aceleración
de la partícula P0. ¿Cuánto vale su módulo en relación con los módulos de las aceleraciones de P1 y P2?
2 Solución
Para resolver este ejercicio sólo es necesario aplicar las leyes de Dinámica para el punto material. La segunda ley de Newton y el principio de superposición establecen que la aceleración instantánea de la partícula Pi multiplicada por su masa inercial, es igual a la resultante de
de las fuerzas que actúan en dicho instante sobre la partícula. Además, el principio de acción y reacción establece que las fuerzas de interacción entre cada par de partículas son opuestas; además, en el ejercicio propuesto, estas fuerzas son colineales con la recta que pasa por cada par de puntos:
![m_i\!\ \vec{a}_i=\vec{F}_{ij}+\vec{F}_{ik}=\vec{F}_i\ \mathrm{,}\quad\mathrm{con}\;\;\, \vec{F}_{ij}=-\vec{F}_{ji}\;\|\; \pm \overrightarrow{P_iP_j} \mathrm{,}\quad\mathrm{para}\;\;\,i,j,k=0,1,2](/wiki/images/math/7/a/3/7a38b97651f2c0aa9f643e11b1549bd1.png)
![\begin{array}{l}\displaystyle \vec{F}_{12}= F_{12}\!\ \vec{\imath}=-\vec{F}_{21}\, \|\, \pm \overrightarrow{P_1P}_2\mathrm{,}\quad\mathrm{con}\;\;\,F_{12}>0\\ \\ \displaystyle \vec{F}_{10}= -F_{10}\!\ \left( \mathrm{cos}\!\ \frac{\pi}{3}\ \vec{\imath}\!\ +\!\ \mathrm{sen}\!\ \frac{\pi}{3}\ \vec{\jmath}\right)=-\vec{F}_{01}\, \|\, \pm \overrightarrow{P_0P}_1\mathrm{,}\quad\mathrm{con}\;\;\,F_{10}>0\\ \\
\displaystyle \vec{F}_{20}= F_{20}\!\ \left( \mathrm{cos}\!\ \frac{\pi}{3}\ \vec{\imath}\!\ -\!\ \mathrm{sen}\!\ \frac{\pi}{3}\ \vec{\jmath}\right)=-\vec{F}_{02}\, \|\, \pm \overrightarrow{P_0P}_2\mathrm{,}\quad\mathrm{con}\;\;\,F_{20}>0
\end{array}](/wiki/images/math/f/2/d/f2d497d997db66798700731b76145ab5.png)
Nótese que no tenemos información acerca de la naturaleza de las fuerzas de interacción mutua , por lo que desconocemos el valor de sus intensidades o módulos, Fij. Sin embargo, no necesitamos esta información para resolver el ejercicio propuesto:
2.1 Relación entre aceleraciones de P1 y P2
Obtenemos las expresiones de las aceleraciones de estas partículas en el instante considerado y en términos de las intensidades Fij de la fuerzas que actúan sobre ellas:
![m_1\!\ \vec{a}_1=-m_1\!\ a_1\!\ \vec{\jmath}=\left(F_{12}-\frac{F_{10}}{2}\right)\ \vec{\imath}\ -\ \frac{\sqrt{3}}{2}\ F_{10}\ \vec{\jmath}=\vec{F}_{12}\!\ +\!\ \vec{F}_{10}\;\; \Longleftrightarrow \;\; \left\{\begin{array}{l}\displaystyle F_{10}=2\!\ F_{12}\\ \\ \displaystyle a_1=\frac{\sqrt{3}\!\ F_{10}}{2\!\ m_1}\end{array}\right.](/wiki/images/math/b/b/f/bbfee1d65109c234fcf6dfa77fb966e0.png)
![m_2\!\ \vec{a}_2=-m_2\!\ a_2\!\ \vec{\jmath}=\left(\frac{F_{20}}{2}-F_{12}\right)\!\ \vec{\imath}\ -\ \frac{\sqrt{3}}{2}\ F_{20}\!\ \vec{\jmath}\;=\vec{F}_{20}\!\ +\!\ \vec{F}_{21} \Longleftrightarrow \;\; \left\{\begin{array}{l}\displaystyle F_{20}=2\!\ F_{12}\\ \\ \displaystyle a_2=\frac{\sqrt{3}\!\ F_{20}}{2\!\ m_2}\end{array}\right.](/wiki/images/math/f/0/3/f03f987d12ea327aa98d2f261d10b4c0.png)
Por tanto, la relación entre las intensidades de las aceleraciones de estás partículas en el instante considerado, es...
![\frac{|\vec{a}_1|}{|\vec{a}_2|}=\frac{a_1}{a_2}=\frac{F_{10}/m_1}{F_{20}/m_2}\;\; \Longrightarrow](/wiki/images/math/9/1/9/91903a0ec84a11ab3c4d14d276da0121.png)
![\frac{|\vec{a}_1|}{|\vec{a}_2|}=\frac{2\!\ F_{12}/m_1}{2\!\ F_{12}/m_2}=\frac{m_2}{m_1}](/wiki/images/math/9/3/7/937373bff02e9aca0da23aeff003b418.png)
2.2 Aceleración de la partícula P0
Aplicando las leyes de la Dinámica en esta partícula, se tendrá:
![\left.\begin{array}{l}\displaystyle m_0\!\ \vec{a}_0=\vec{F}_{01}\!\ +\!\ \vec{F}_{02}=\frac{F_{10}-F_{20}}{2}\ \vec{\imath}\ +\ \frac{\sqrt{3}}{2}\ \left(F_{10}+F_{20}\right)\ \vec{\jmath}\\ \\
\displaystyle F_{10}=F_{20}=2\!\ F_{12}
\end{array}\right\}\;\; \Longrightarrow \;\; \vec{a}_0=\frac{2\!\ \sqrt{3}\!\ F_{12}}{m_0}\ \vec{\jmath}=\frac{1}{m_0}\ \vec{F}_0](/wiki/images/math/c/2/e/c2e47c6c4d2e0d0cec2b4a8164e6571e.png)
![\frac{|\vec{a}_0|}{|\vec{a}_1|}=\frac{2\!\ \sqrt{3}\!\ F_{12}/m_0}{\sqrt{3}\!\ F_{12}/m_1}=\frac{2\!\ m_1}{m_0}](/wiki/images/math/1/a/5/1a5d94a0c293cc98b4607c3ea4353454.png)
![\frac{|\vec{a}_0|}{|\vec{a}_2|}=\frac{2\!\ \sqrt{3}\!\ F_{12}/m_0}{\sqrt{3}\!\ F_{12}/m_2}=\frac{2\!\ m_1}{m_0}](/wiki/images/math/f/a/7/fa7df7d62576eac9dd37e867d330c40c.png)