Disco en varilla horizontal (CMR)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 01:17 11 nov 2017

Contenido

1 Enunciado
2 Velocidades angulares
3 Ejes instantáneos de rotación
4 Velocidades lineales

1 Enunciado

Un disco de radio R (“sólido 2”) se encuentra ensartado mediante un rodamiento sin fricción en un eje horizontal de longitud h (“sólido 0”). Este eje está montado sobre un soporte vertical fijo de altura R. El disco rueda sin deslizar sobre la superficie horizontal $z = 0$ (“sólido 1”). Consideramos tres sistemas de referencia. Uno fijo en el suelo, uno ligado al disco, y uno intermedio en el que el eje $O X 0$ es a lo largo de la barra horizontal y $O Z 0 = O Z 1$ en todo momento. Sea $θ(t)$ el ángulo que el eje $O X 0$ forma con el $O X 1$ . En un instante dado $\theta=0\,$ , $\dot{\theta}=\Omega$ , $\ddot{\theta}=\alpha$ .

Para ese instante:

Determine los vectores $\vec{\omega}_{01}$ , $\vec{\omega}_{20}$ y $\vec{\omega}_{21}$ .
Halle la posición de los ejes instantáneos de rotación en los movimientos {01}, {20} y {21}.
Calcule las velocidades en el movimiento {21} y el {20} del punto A de contacto del disco con el suelo; del G, centro del disco, y de D, el punto más alto del disco.
Halle las aceleraciones angulares $\vec{\alpha}_{01}$ , $\vec{\alpha}_{20}$ y $\vec{\alpha}_{21}$ .
Calcule las aceleraciones en los movimientos {21} y {20} de los puntos C, G y D del apartado (3).

2 Velocidades angulares

En este problema tenemos tres sistemas de referencias, los dos sólidos y el sistema intermedio. Puesto que el punto A es fijo en los tres, podemos emplearlo como origen de coordenadas común.

El sistema 1 es el fijo, con ejes $O X 1$ y $O Y 1$ horizontales y $O Z 1$ vertical.

El sistema 0 tienes su eje $O X 0$ siempre alineado con la varilla, siendo $O Z 0$ vertical y coincidente con $O Z 1$ . En el movimiento {01} este sistema gira en torno a $O Z 1 = O Z 0$ por lo que las bases respectivas cumplen

$\begin{array}{rcl}\vec{\imath}_0&=&\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\\ \vec{\imath}_0&=&-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\\ \vec{k}_0&=&\vec{k}_1\end{array}$

La velocidad angular del movimiento {01} es una rotación en torno a su eje común

$\vec{\omega}_{01}=\dot{\theta}\vec{k}_1=\dot{\theta}\vec{k}_0$

El sistema 2 es uno ligado al disco y cuyo eje $O X 2$ coincide con el $O X 2$ . El disco gira alrededor de este eje. Por tanto, la relación entre las correspondientes bases es

$\begin{array}{rcl}\vec{\imath}_2&=&\vec{\imath}_0\\ \vec{\jmath}_2&=&\cos(\psi)\vec{\jmath}_0+\mathrm{sen}(\psi)\vec{k}_0\\ \vec{k}_2&=&-\mathrm{sen}(\psi)\vec{\jmath}_0+\cos\vec{k}_0\\ \end{array}$

siendo la velocidad angular

$\vec{\omega}_{20}=\dot{\psi}\vec{\imath}_0=\dot{\psi}\vec{\imath}_2$

Aquí ψ es el ángulo que va girando el disco sobre su eje. No es una variable independiente de θ ya que debe cumplirse la condición de rodadura sin deslizamiento.

La velocidad angular del movimiento {21} es la composición de las otras dos

$\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\dot{\psi}\vec{\imath}_0+\dot{\theta}\vec{k}_0$

Obtenemos la relación entre las dos componentes imponiendo la condición de que la velocidad en el punto de contacto C es nula en el movimiento {21}

$\vec{0}=\vec{v}^C_{21}=\overbrace{\vec{v}^O_{21}}^{=\vec{0}}+\vec{\omega}_{21}\times \overrightarrow{OC}$

Desarrollando el producto vectorial

$\vec{0}=\left(\dot{\psi}\vec{\imath}_0+\dot{\theta}\vec{k}_0\right)\times\left(h\vec{\imath}_0-R\vec{k}_0\right)=\left(R\dot{\psi}+h\dot{\theta}\right)\vec{\jmath}_0$

por lo que debe ser

$\dot{\psi}=-\frac{h}{R}\dot{\theta}\qquad\Rightarrow\qquad \psi=-\frac{h}{R}\theta$

y por tanto, si llamamos $\Omega=\dot{\theta}$

$\vec{\omega}_{01}=\Omega\vec{k}_0\qquad\qquad \vec{\omega}_{20}=-\frac{h}{R}\Omega\vec{\imath}_0\qquad\qquad\vec{\omega}_{21}=\frac{\Omega\left(-h\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0\right)}{R}$

3 Ejes instantáneos de rotación

Lo localización de los tres EIR es sencilla:

Movimiento {01}: El eje es el $O Z 1 = O Z 0$
Movimiento {20}: El eje es el $O X 2 = O X 0$
Movimiento {21}: Es el que pasa por O y lleva la dirección de $\vec{\omega}_{21}$ o, lo que es equivalente, el que pasa por O y A, al ser ambos puntos de velocidad nula en el movimiento {01}.

4 Velocidades lineales

4.1 Del punto A

En el movimiento {21}, la velocidad del punto A es nula según hemos dicho.

$\vec{v}^A_{21}=\vec{0}$

En el movimiento {20} el punto A describe un movimiento circular en torno al eje del disco, que pasa por el origen O.

$\vec{v}^A_{20}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{OA}=\left(-\frac{h}{R}\Omega\vec{\imath}_0\right)\times(h\vec{\imath}_0-R\vec{k}_0)=-\Omega h\vec{\jmath}_0$

También se puede hallar esta velocidad a partir de la del movimiento {01} ya que por ser nula la del {21}

$\vec{v}^A_{20}=\vec{v}^A_{21}+\vec{v}^{10}=\vec{0}-\vec{v}^A_{01}=-\left(\Omega\vec{k}_0\right)\times(h\vec{\imath}_0-R\vec{k}_0)=-\Omega h\vec{\jmath}_0$

4.2 Del punto G

En el movimiento {20} G está en reposo por pertenecer al eje de rotación

$\vec{v}^G_{20}=\vec{0}$

En el {21} y en el {01} realiza un movimiento de rotación alrededor e un eje que pasa por A.

$\vec{v}^G_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG}=(\Omega \vec{k}_0)\times (h\vec{\imath}_0)=-\Omega h\vec{\jmath}_0$

Vemos que en este movimiento A y G tienen la misma velocidad por estar a la misma distancia del eje. De aquí

$\vec{v}^G_{21}=\vec{v}^G_{01}=-\Omega h\vec{\jmath}_0$

4.3 Del punto D

Operando igualmente, tenemos en el movimiento {01}

$\vec{v}^D_{01}=\Omega h\vec{\jmath}_0$

En el {20}

$\vec{v}^D_{20}=\left(-\frac{h}{R}\Omega\vec{\imath}_0\right)\times (h\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0)=\Omega h\vec{\jmath}_0$

y por tanto

$\vec{v}^D_{21}=\vec{v}^D_{21}+\vec{v}^D_{21}=2\Omega h\vec{\jmath}_0$

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
 ==Enunciado==
-Un disco de radio R (“sólido 2”) se encuentra ensartado mediante un rodamiento sin fricción en un eje horizontal de longitud h (“sólido 0”). Este eje está montado sobre un soporte vertical fijo de altura R. El disco rueda sin deslizar sobre la superficie horizontal <math>z=0</math> (“sólido 1”). Consideramos tres sistemas de referencia. Uno fijo en el suelo, uno ligado al disco, y uno intermedio en el que el eje  <math>OX_0</math> es a lo largo de la barra horizontal y <math>OZ_0=OZ_1</math> en todo momento. Sea <math>θ(t)</math> el ángulo que el eje <math>OX_0</math> forma con el <math>OX_1</math>. En un instante dado <math>\theta=0\,</math>, <math>\dot{\theta}=\Omega</math>, <math>\ddot{\theta}=\alpha</math>.
+Un disco de radio R (“sólido 2”) se encuentra ensartado mediante un rodamiento sin fricción en un eje horizontal de longitud h (“sólido 0”). Este eje está montado sobre un soporte vertical fijo de altura R. El disco rueda sin deslizar sobre la superficie horizontal <math>z=0</math> (“sólido 1”). Consideramos tres sistemas de referencia. Uno fijo en el suelo, uno ligado al disco, y uno intermedio en el que el eje  <math>OX_0</math> es a lo largo de la barra horizontal y <math>OZ_0=OZ_1</math> en todo momento. Sea <math>\theta(t)</math> el ángulo que el eje <math>OX_0</math> forma con el <math>OX_1</math>. En un instante dado <math>\theta=0\,</math>, <math>\dot{\theta}=\Omega</math>, <math>\ddot{\theta}=\alpha</math>.
 <center>[[Archivo:disco-varilla-horizontal-02.png|600px]]</center>
@@ Línea 6: / Línea 6: @@
 #	Determine los vectores <math>\vec{\omega}_{01}</math>, <math>\vec{\omega}_{20}</math> y <math>\vec{\omega}_{21}</math>.
 # Halle la posición de los ejes instantáneos de rotación en los movimientos {01}, {20} y {21}.
-# Calcule las velocidades en el movimiento {21} y el {20} del punto C de contacto del disco con el suelo; del G, centro del disco, y de D, el punto más alto del disco.
+# Calcule las velocidades en el movimiento {21} y el {20} del punto A de contacto del disco con el suelo; del G, centro del disco, y de D, el punto más alto del disco.
 # Halle las aceleraciones angulares <math>\vec{\alpha}_{01}</math>, <math>\vec{\alpha}_{20}</math> y <math>\vec{\alpha}_{21}</math>.
 # Calcule las aceleraciones en los movimientos {21} y {20} de los puntos C, G y D del apartado (3).
@@ Línea 62: / Línea 62: @@
 ;Movimiento {01}: El eje es el <math>OZ_1=OZ_0</math>
 ;Movimiento {20}: El eje es el <math>OX_2=OX_0</math>
-;Movimiento {21}: Es el que pasa por O y lleva la dirección de <math>\vec{\omega}_{21}</math> o, lo que es equivalente, el que pasa por O y A, al ser ambos puntos de velocidad nula en el movimiento {01}
+;Movimiento {21}: Es el que pasa por O y lleva la dirección de <math>\vec{\omega}_{21}</math> o, lo que es equivalente, el que pasa por O y A, al ser ambos puntos de velocidad nula en el movimiento {01}.
+==Velocidades lineales==
+===Del punto A===
+En el movimiento {21}, la velocidad del punto A es nula según hemos dicho.
+<center><math>\vec{v}^A_{21}=\vec{0}</math></center>
+En el movimiento {20} el punto A describe un movimiento circular en torno al eje del disco, que pasa por el origen O.
+<center><math>\vec{v}^A_{20}=\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{OA}=\left(-\frac{h}{R}\Omega\vec{\imath}_0\right)\times(h\vec{\imath}_0-R\vec{k}_0)=-\Omega h\vec{\jmath}_0</math></center>
+También se puede hallar esta velocidad a partir de la del movimiento {01} ya que por ser nula la del {21}
+<center><math>\vec{v}^A_{20}=\vec{v}^A_{21}+\vec{v}^{10}=\vec{0}-\vec{v}^A_{01}=-\left(\Omega\vec{k}_0\right)\times(h\vec{\imath}_0-R\vec{k}_0)=-\Omega h\vec{\jmath}_0</math></center>
+===Del punto G===
+En el movimiento {20} G está en reposo por pertenecer al eje de rotación
+<center><math>\vec{v}^G_{20}=\vec{0}</math></center>
+En el {21} y en el {01} realiza un movimiento de rotación alrededor e un eje que pasa por A.
+<center><math>\vec{v}^G_{01}=\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG}=(\Omega \vec{k}_0)\times (h\vec{\imath}_0)=-\Omega h\vec{\jmath}_0</math></center>
+Vemos que en este movimiento A y G tienen la misma velocidad por estar a la misma distancia del eje. De aquí
+<center><math>\vec{v}^G_{21}=\vec{v}^G_{01}=-\Omega h\vec{\jmath}_0</math></center>
+===Del punto D===
+Operando igualmente, tenemos en el movimiento {01}
+<center><math>\vec{v}^D_{01}=\Omega h\vec{\jmath}_0</math></center>
+En el {20}
+<center><math>\vec{v}^D_{20}=\left(-\frac{h}{R}\Omega\vec{\imath}_0\right)\times (h\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0)=\Omega h\vec{\jmath}_0</math></center>
+y por tanto
+<center><math>\vec{v}^D_{21}=\vec{v}^D_{21}+\vec{v}^D_{21}=2\Omega h\vec{\jmath}_0</math></center>
 [[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento relativo (CMR)]]

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1 Enunciado

2 Velocidades angulares

3 Ejes instantáneos de rotación

4 Velocidades lineales

4.1 Del punto A

4.2 Del punto G

4.3 Del punto D

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