Disco en varilla horizontal (CMR)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 17:25 10 nov 2017

1 Enunciado

Un disco de radio R (“sólido 2”) se encuentra ensartado mediante un rodamiento sin fricción en un eje horizontal de longitud h (“sólido 0”). Este eje está montado sobre un soporte vertical fijo de altura R. El disco rueda sin deslizar sobre la superficie horizontal $z = 0$ (“sólido 1”). Consideramos tres sistemas de referencia. Uno fijo en el suelo, uno ligado al disco, y uno intermedio en el que el eje $O X 0$ es a lo largo de la barra horizontal y $O Z 0 = O Z 1$ en todo momento. Sea $(t)$ el ángulo que el eje $O X 0$ forma con el $O X 1$ . En un instante dado $\theta=0\,$ , $\dot{\theta}=\Omega$ , $\ddot{\theta}=\alpha$ .

Para ese instante:

Determine los vectores $\vec{\omega}_{01}$ , $\vec{\omega}_{20}$ y $\vec{\omega}_{21}$ .
Halle la posición de los ejes instantáneos de rotación en los movimientos {01}, {20} y {21}.
Calcule las velocidades en el movimiento {21} y el {20} del punto C de contacto del disco con el suelo; del G, centro del disco, y de D, el punto más alto del disco.
Halle las aceleraciones angulares $\vec{\alpha}_{01}$ , $\vec{\alpha}_{20}$ y $\vec{\alpha}_{21}$ .
Calcule las aceleraciones en los movimientos {21} y {20} de los puntos C, G y D del apartado (3).

2 Velocidades angulares

En este problema tenemos tres sistemas de referencias, los dos sólidos y el sistema intermedio. Puesto que el punto A es fijo en los tres, podemos emplearlo como origen de coordenadas común.

El sistema 1 es el fijo, con ejes $O X 1$ y $O Y 1$ horizontales y $O Z 1$ vertical.

El sistema 0 tienes su eje $O X 0$ siempre alineado con la varilla, siendo $O Z 0$ vertical y coincidente con $O Z 1$ . En el movimiento {01} este sistema gira en torno a $O Z 1 = O Z 0$ por lo que las bases respectivas cumplen

$\begin{array}{rcl}\vec{\imath}_0&=&\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\\ \vec{\imath}_0&=&-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\\ \vec{k}_0&=&\vec{k}_1\end{array}$

La velocidad angular del movimiento {01} es una rotación en torno a su eje común

$\vec{\omega}_{01}=\dot{\theta}\vec{k}_1=\dot{\theta}\vec{k}_0$

El sistema 2 es uno ligado al disco y cuyo eje $O X 2$ coincide con el $O X 2$ . El disco gira alrededor de este eje. Por tanto, la relación entre las correspondientes bases es

$\begin{array}{rcl}\vec{\imath}_2&=&\vec{\imath}_0\\ \vec{\jmath}_2&=&\cos(\psi)\vec{\jmath}_0+\mathrm{sen}(\psi)\vec{k}_0\\ \vec{k}_2&=&-\mathrm{sen}(\psi)\vec{\jmath}_0+\cos\vec{k}_0\\ \end{array}$

siendo la velocidad angular

$\vec{\omega}_{20}=\dot{\psi}\vec{\imath}_0=\dot{\psi}\vec{\imath}_2$

Aquí ψ es el ángulo que va girando el disco sobre su eje. No es una variable independiente de θ ya que debe cumplirse la condición de rodadura sin deslizamiento.

La velocidad angular del movimiento {21} es la composición de las otras dos

$\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\dot{\psi}\vec{\imath}_0+\dot{\theta}\vec{k}_0$

Obtenemos la relación entre las dos componentes imponiendo la condición de que la velocidad en el punto de contacto C es nula en el movimiento {21}

$\vec{0}=\vec{v}^C_{21}=\overbrace{\vec{v}^A_{21}}^{=\vec{0}}+\vec{\omega}_{21}\times \overrightarrow{AC}$

Desarrollando el producto vectorial

$\vec{0}=\left(\dot{\psi}\vec{\imath}_0+\dot{\theta}\vec{k}_0\right)\times\left(h\vec{\imath}_0-R\vec{k}_0\right)=\left(R\dot{\psi}+h\dot{\theta}\right)\vec{\jmath}_0$

por lo que debe ser

$\dot{\psi}=-\frac{h}{R}\dot{\theta}\qquad\Rightarrow\qquad \psi=-\frac{h}{R}\theta$

y por tanto, si llamamos $\Omega=\dot{\theta}$

$\vec{\omega}_{01}=\Omega\vec{k}_0\qquad\qquad \vec{\omega}_{20}=-\frac{h}{R}\Omega\vec{\imath}_0\qquad\qquad\vec{\omega}_{21}=\frac{\Omega\left(-h\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0\right)}{R}$

@@ Línea 9: / Línea 9: @@
 # Halle las aceleraciones angulares <math>\vec{\alpha}_{01}</math>, <math>\vec{\alpha}_{20}</math> y <math>\vec{\alpha}_{21}</math>.
 # Calcule las aceleraciones en los movimientos {21} y {20} de los puntos C, G y D del apartado (3).
+==Velocidades angulares==
+En este problema tenemos tres sistemas de referencias, los dos sólidos y el sistema intermedio. Puesto que el punto A es fijo en los tres, podemos emplearlo como origen de coordenadas común.
+El sistema 1 es el fijo, con ejes <math>OX_1</math> y <math>OY_1</math> horizontales y <math>OZ_1</math> vertical.
+El sistema 0 tienes su eje <math>OX_0</math> siempre alineado con la varilla, siendo <math>OZ_0</math> vertical y coincidente con <math>OZ_1</math>. En el movimiento {01} este sistema gira en torno a <math>OZ_1=OZ_0</math> por lo que las bases respectivas cumplen
+<center><math>\begin{array}{rcl}\vec{\imath}_0&=&\cos(\theta)\vec{\imath}_1+\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}_1\\
+\vec{\imath}_0&=&-\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}_1+\cos(\theta)\vec{\jmath}_1\\
+\vec{k}_0&=&\vec{k}_1\end{array}</math></center>
+La velocidad angular del movimiento {01} es una rotación en torno a su eje común
+<center><math>\vec{\omega}_{01}=\dot{\theta}\vec{k}_1=\dot{\theta}\vec{k}_0</math></center>
+El sistema 2 es uno ligado al disco y cuyo eje <math>OX_2</math> coincide con el <math>OX_2</math>. El disco gira alrededor de este eje. Por tanto, la relación entre las correspondientes bases es
+<center><math>\begin{array}{rcl}\vec{\imath}_2&=&\vec{\imath}_0\\
+\vec{\jmath}_2&=&\cos(\psi)\vec{\jmath}_0+\mathrm{sen}(\psi)\vec{k}_0\\
+\vec{k}_2&=&-\mathrm{sen}(\psi)\vec{\jmath}_0+\cos\vec{k}_0\\
+\end{array}</math></center>
+siendo la velocidad angular
+<center><math>\vec{\omega}_{20}=\dot{\psi}\vec{\imath}_0=\dot{\psi}\vec{\imath}_2</math></center>
+Aquí &psi; es el ángulo que va girando el disco sobre su eje. No es una variable independiente de &theta; ya que debe cumplirse la condición de rodadura sin deslizamiento.
+La velocidad angular del movimiento {21} es la composición de las otras dos
+<center><math>\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}=\dot{\psi}\vec{\imath}_0+\dot{\theta}\vec{k}_0</math></center>
+Obtenemos la relación entre las dos componentes imponiendo la condición de que la velocidad en el punto de contacto C es nula en el movimiento {21}
+<center><math>\vec{0}=\vec{v}^C_{21}=\overbrace{\vec{v}^A_{21}}^{=\vec{0}}+\vec{\omega}_{21}\times \overrightarrow{AC}</math></center>
+Desarrollando el producto vectorial
+<center><math>\vec{0}=\left(\dot{\psi}\vec{\imath}_0+\dot{\theta}\vec{k}_0\right)\times\left(h\vec{\imath}_0-R\vec{k}_0\right)=\left(R\dot{\psi}+h\dot{\theta}\right)\vec{\jmath}_0</math></center>
+por lo que debe ser
+<center><math>\dot{\psi}=-\frac{h}{R}\dot{\theta}\qquad\Rightarrow\qquad \psi=-\frac{h}{R}\theta</math></center>
+y por tanto, si llamamos <math>\Omega=\dot{\theta}</math>
+<center><math>\vec{\omega}_{01}=\Omega\vec{k}_0\qquad\qquad \vec{\omega}_{20}=-\frac{h}{R}\Omega\vec{\imath}_0\qquad\qquad\vec{\omega}_{21}=\frac{\Omega\left(-h\vec{\imath}_0+R\vec{k}_0\right)}{R}</math></center>
 [[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento relativo (CMR)]]

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