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Problemas de cinemática del sólido rígido (CMR)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Caso de rotación finita)
(→Caso de rotación finita)
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# Calcule el ángulo girado en torno a este eje (estudie el cambio de un vector perpendicular al eje).
# Calcule el ángulo girado en torno a este eje (estudie el cambio de un vector perpendicular al eje).
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==[[Clasificación de movimientos de un sólido]]==
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Se tiene un sólido formado por ocho masas iguales, <math>m=100\,\mathrm{g}</math>, situadas en los vértices de un cubo de lado <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. En un instante dado, una de ellas se encuentra en el origen de coordenadas y las aristas son paralelas a los ejes de coordenadas.
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Considere los casos siguientes para las velocidades de las masas situadas en <math>\vec{r}_1=b\vec{\imath}</math>, <math>\vec{r}_2=b\vec{\jmath}</math> y <math>\vec{r}_3=b\vec{k}</math>
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# Identifique cuáles de las situaciones anteriores son compatibles con la condición de rigidez.
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# Para las que sí lo son, identifique si se trata de un movimiento de traslación pura, rotación pura o helicoidal.
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# Para las rotaciones y movimientos helicoidales, determine la posición del EIR o EIRMD.
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# Para los movimientos compatibles, calcule la cantidad de movimiento, el momento cinético y la energía cinética del sistema de masas.
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==[[Rodadura y deslizamiento de un disco]]==
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Un disco de radio <math>R</math> y masa <math>M</math> rueda y desliza sobre el plano horizontal <math>y=0</math> de forma que la velocidad del punto de contacto con el suelo, A, y del diametralmente opuesto, B son de la forma
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# Calcule la velocidad angular del disco.
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# Halle la velocidad del centro del disco, C, así como de los puntos D y E situados en los extremos de un diámetro horizontal.
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# Determine la posición del centro instantáneo de rotación.
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# Indique a qué se reducen los resultados anteriores en los casos particulares siguientes:
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## <math>v_A = -v_B</math>
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==[[Diferentes movimientos de una esfera]]==
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Considérese una esfera de masa <math>M</math> y radio <math>R</math> que se mueve sobre la superficie horizontal <math>z=0</math>. Consideramos un instante en el que la esfera toca el suelo justo en el origen de coordenadas, O, y tal que en ese momento la velocidad de
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dicho punto de contacto con el suelo es nula
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Para este mismo instante la velocidad de los puntos <math>\vec{r}_A=-R\vec{\imath}+R\vec{k}</math> y <math>\vec{r}_B=+R\vec{\imath}+R\vec{k}</math> situados en un diámetro horizontal valen respectivamente
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Para los tres casos siguientes:
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* <math>v_A=+v_B</math>
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* <math>v_A=0</math>
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# Indique justificadamente el tipo de movimiento instantáneo que realiza la esfera (traslación, rotación, helicoidal,&hellip;)
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# Calcule la velocidad angular del sólido.
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# Halle la velocidad angular de pivotamiento y la de rodadura de la esfera.
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# Dé la ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (o de rotación, en su caso).
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# Calcule la velocidad lineal del centro C de la esfera y la del punto D situado en el extremo superior de la esfera.
[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido (CMR)|0]]
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Revisión de 00:08 27 oct 2017

Contenido

1 Traslación y rotación en el plano

En un movimiento plano, un sólido realiza una traslación 8\vec{\imath}+6\vec{\jmath} seguida de una rotación de 90° en torno a la nueva posición del origen de coordenadas. ¿Qué punto del plano está al final en la misma posición que al principio? ¿Cómo cambia el resultado si la rotación que sucede a la traslación es de un ángulo θ tal que tg⁡(θ)=3\/4?

2 Caso de rotación finita

Tras una determinada rotación en torno al origen de coordenadas la base ligada al sólido se expresa en función de la base fija como
\begin{array}{rcl} \vec{\imath}_2 & = & 0.60\vec{\imath}_1 + 0.64\vec{\jmath}_1 - 0.48\vec{k}_1 \\ \vec{\jmath}_2 & = & 0.60\vec{\jmath}_1 + 0.80\vec{k}_1 \\ \vec{k}_2 & = & 0.80\vec{\imath}_1 - 0.48\vec{\jmath}_1 + 0.368\vec{k}_1 \end{array}
  1. Compruébese que la base es ortonormal.
  2. Determine un vector en la dirección del eje de rotación.
  3. Calcule el ángulo girado en torno a este eje (estudie el cambio de un vector perpendicular al eje).

3 Clasificación de movimientos de un sólido

Se tiene un sólido formado por ocho masas iguales, m=100\,\mathrm{g}, situadas en los vértices de un cubo de lado b=10\,\mathrm{cm}. En un instante dado, una de ellas se encuentra en el origen de coordenadas y las aristas son paralelas a los ejes de coordenadas.

Archivo:ocho-masas.png

Considere los casos siguientes para las velocidades de las masas situadas en \vec{r}_1=b\vec{\imath}, \vec{r}_2=b\vec{\jmath} y \vec{r}_3=b\vec{k}

Caso \vec{v}_1 (cm/s) \vec{v}_2 (cm/s) \vec{v}_3 (cm/s)
I \vec{\jmath}-\vec{k} -\vec{\imath}+\vec{k} \vec{\imath}-\vec{\jmath}
II \vec{\imath}+\vec{\jmath}-\vec{k} \vec{k} 2\vec{\imath}-\vec{\jmath}
III \vec{\jmath}-\vec{k} -\vec{\imath}+\vec{k} \vec{\imath}-\vec{\jmath}+\vec{k}
IV \vec{\imath}-\vec{\jmath} \vec{\imath}-\vec{\jmath} \vec{\imath}-\vec{\jmath}
V \vec{\imath}+2\vec{\jmath} \vec{\jmath}+2\vec{k} 2\vec{\imath}+\vec{k}
VI \vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k} \vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k} \vec{0}
  1. Identifique cuáles de las situaciones anteriores son compatibles con la condición de rigidez.
  2. Para las que sí lo son, identifique si se trata de un movimiento de traslación pura, rotación pura o helicoidal.
  3. Para las rotaciones y movimientos helicoidales, determine la posición del EIR o EIRMD.
  4. Para los movimientos compatibles, calcule la cantidad de movimiento, el momento cinético y la energía cinética del sistema de masas.

4 Rodadura y deslizamiento de un disco

Un disco de radio R y masa M rueda y desliza sobre el plano horizontal y = 0 de forma que la velocidad del punto de contacto con el suelo, A, y del diametralmente opuesto, B son de la forma

\vec{v}_A = v_A\vec{\imath}\qquad \vec{v}_B = v_B\vec{\imath}
  1. Calcule la velocidad angular del disco.
  2. Halle la velocidad del centro del disco, C, así como de los puntos D y E situados en los extremos de un diámetro horizontal.
  3. Determine la posición del centro instantáneo de rotación.
  4. Indique a qué se reducen los resultados anteriores en los casos particulares siguientes:
    1. vA = − vB
    2. vA = 0
    3. vA = vB

5 Diferentes movimientos de una esfera

Considérese una esfera de masa M y radio R que se mueve sobre la superficie horizontal z = 0. Consideramos un instante en el que la esfera toca el suelo justo en el origen de coordenadas, O, y tal que en ese momento la velocidad de dicho punto de contacto con el suelo es nula

\vec{v}_O = \vec{0}

Para este mismo instante la velocidad de los puntos \vec{r}_A=-R\vec{\imath}+R\vec{k} y \vec{r}_B=+R\vec{\imath}+R\vec{k} situados en un diámetro horizontal valen respectivamente

\vec{v}_A = v_A\vec{\jmath}\qquad \vec{v}_B = v_B\vec{\jmath}

Para los tres casos siguientes:

  • vA = + vB
  • vA = 0
  • vA = − vB
  1. Indique justificadamente el tipo de movimiento instantáneo que realiza la esfera (traslación, rotación, helicoidal,…)
  2. Calcule la velocidad angular del sólido.
  3. Halle la velocidad angular de pivotamiento y la de rodadura de la esfera.
  4. Dé la ecuación del eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento (o de rotación, en su caso).
  5. Calcule la velocidad lineal del centro C de la esfera y la del punto D situado en el extremo superior de la esfera.
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Problemas_de_cinem%C3%A1tica_del_s%C3%B3lido_r%C3%ADgido_(CMR)"

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