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Movimiento expresado en polares

De Laplace

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# Radio de curvatura y centro de curvatura.
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Es el perpendicular al plano definido por la velocidad de la aceleración, es decir, en la dirección de <math>\vec{k}</math>, con el sentido dado por el producto vectorial.
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También podemos hallarlo normalizando la aceleración normal
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Por último, el centro de curvatura, lo hallamos como
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última version al 17:04 11 oct 2017

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve de forma que en el SI sus coordenadas polares valen, en todo instante t > 0,

\rho=\frac{4}{t}\qquad\qquad\theta=\frac{3}{4}\ln(t)

Para el instante t=1\,\mathrm{s} halle…

  1. Velocidad y rapidez
  2. Vector aceleración y componentes intrínsecas de la aceleración.
  3. Triedro de Frenet.
  4. Radio de curvatura y centro de curvatura.

2 Velocidad y rapidez

La velocidad de una partícula, expresada en coordenadas polares, viene dada por

\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\theta}\vec{u}_\theta

donde, en este caso,

\dot{\rho}=-\frac{4}{t^2}\qquad\qquad\dot{\theta}=\frac{3}{4t}\qquad\qquad \rho\dot{\theta}=\frac{3}{t^2}

lo que nos da la velocidad

\vec{v}=\frac{-4\vec{u}_\rho+3\vec{u}_{\theta}}{t^2}

y la rapidez

|\vec{v}|=\frac{5}{t^2}

3 Aceleración

3.1 Vector aceleración

Expresada en polares, la aceleración es

\vec{a}=(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2)\vec{u}_\rho + (2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta})\vec{u}_\theta

con

\ddot{\rho}=\frac{8}{t^3}\qquad\qquad\ddot{\theta}=-\frac{3}{4t^2}

Nos queda la aceleración radial

a_\rho=\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2=\frac{8}{t^3}-\left(\frac{4}{t}\right)\left(\frac{3}{4t}\right)^2=\frac{23}{4t^3}

y la acimutal o lateral

a_\theta=2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta}=-\frac{6}{t^3}-\frac{3}{t^3}=-\frac{9}{t^3}

El vector aceleración es entonces

\vec{a}=\frac{23\vec{u}_\rho-36\vec{u}_\theta}{4t^3}

3.2 Aceleración tangencial

En su forma escalar, la componente tangencial la da la derivada de la rapidez respecto al tiempo

a_t=\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=-\frac{10}{t^3}

En su forma vectorial, multiplicamos esta cantidad por el vector tangente, unitario paralelo a la velocidad

\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=-\frac{4}{5}\vec{u}_\rho+\frac{3}{5}\vec{u}_\theta

y queda

\vec{a}_t=\left(-\frac{10}{t^3}\right)\left(-\frac{4}{5}\vec{u}_\rho+\frac{3}{5}\vec{u}_\theta\right)=\frac{8}{t^3}\vec{u}_\rho-\frac{6}{t^3}\vec{u}_\theta

3.3 Aceleración normal

El vector aceleración normal lo obtenemos mediante la substracción vectorial

\vec{a}_n=\vec{a}-\vec{a}_t=-\frac{9}{4t^3}\vec{u}_\rho-\frac{3}{t^3}\vec{u}_\theta

y su forma escalar hallando el módulo de este vector

a_n=|\vec{a}_n|=\frac{15}{4t^3}

También puede calcularse mediante el teorema de Pitágoras

a_n=\sqrt{|\vec{a}|^2-|\vec{a}_t|^2}

4 Triedro de Frenet

4.1 Vector tangente

Ya lo hemos obtenido como el unitario paralelo a la velocidad

\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=-\frac{4}{5}\vec{u}_\rho+\frac{3}{5}\vec{u}_\theta

4.2 Vector binormal

Es el perpendicular al plano definido por la velocidad de la aceleración, es decir, en la dirección de \vec{k}, con el sentido dado por el producto vectorial.

\vec{v}\times\vec{a}=\frac{1}{4t^5}\left|\begin{matrix}\vec{u}_\rho &\vec{u}_\theta & \vec{k}\\ -4&3& 0 \\ 23 & -36 & 0\end{matrix}\right| = \frac{75}{4t^5}\vec{k}

Normalizando este vector queda

\vec{B}=\vec{k}

4.3 Vector normal

Completamos el triedro con ayuda del producto vectorial

\vec{N}=\vec{B}\times\vec{T}=-\frac{3}{5}\vec{u}_\rho-\frac{4}{5}\vec{u}_\theta

También podemos hallarlo normalizando la aceleración normal

\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}

5 Radio y centro de curvatura

Obtenemos el radio a partir de la aceleración normal y la rapidez

R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n} = \frac{(5/t^2)^2}{15/4t^3}=\frac{20}{3t}

Por último, el centro de curvatura, lo hallamos como

\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}=-\frac{16}{3t}\vec{u}_\theta

Hay que indicar que este vector \vec{u}_\theta es el referido a la posición de la partícula, no al punto \vec{r}_c

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