Anilla ensartada en dos varillas rotatorias (GIE)

De Laplace

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	La distancia <math>|\overrightarrow{OP}|</math> la calculamos resolviendo el triángulo OAP, del cual conocemos un lado y dos ángulos		La distancia <math>|\overrightarrow{OP}|</math> la calculamos resolviendo el triángulo OAP, del cual conocemos un lado y dos ángulos
-	<center><math>|\overrightarrow{OA}|=b\qquad\qquad \angle{AOP}=2\Omega t\qquad\qquad \widehat{OAP}=\frac{\pi}{2}-\Omega t</math></center>	+	<center><math>|\overrightarrow{OA}|=b\qquad\qquad \widehat{AOP}=2\Omega t\qquad\qquad \widehat{OAP}=\frac{\pi}{2}-\Omega t</math></center>
		+
		+	El tercer ángulo sale de que la suma de los tres es <math>\pi</math>
		+
		+	<center><math>\widehat{APO}=\pi-(2\Omega t)-\left(\frac{\pi}{2}-\Omega t\right)=\frac{\pi}{2}-\Omega t=\widehat{OAP}</math></center>
		+
		+	Al haber dos ángulos iguales el triángulo es isósceles y los dos lados son iguales
		+
		+	<center><math>|\overrightarrow{OP}|=|\overrightarrow{OA}|=b</math></center>
		+
		+	lo que nos da la posición en cada instante
		+
		+	<center><math>\vec{r}=b\left(\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)</math></center>
		+
		+	Es decir, la anilla describe un movimiento circular uniforme alrededor del origen de coordenadas, con velocidad angular <math>2\Omega</math>.
	===Velocidad===		===Velocidad===
		+	Derivamos una vez
		+
		+	<center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-2\Omega b\,\mathr{sen}(2\Omega t)\vec{\imath}+2\Omega b\cos(2\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>
	===Aceleración===		===Aceleración===
		+	Derivamos una segunda vez
		+
		+	<center><math>\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-4\Omega ^2b\,\mathr{cos}(2\Omega t)\vec{\imath}-4\Omega^2 b\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}</math></center>

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Revisión de 13:48 19 sep 2017

Contenido 1 Enunciado 2 Posición, velocidad y aceleración 2.1 Determinación de la posición 2.2 Velocidad 2.3 Aceleración

1 Enunciado

Una pequeña anilla se halla ensartada en las dos barras rotatorias de la figura. Las dos barras giran alrededor de puntos fijos O y A que distan una cantidad b. Las dos barras giran en sentido positivo, la de O con velocidad angular 2Ω y la de A con velocidad angular Ω. Inicialmente la barra de O se halla situada horizontalmente y la de A verticalmente.

1. Determine la posición, velocidad y aceleración de la anilla como función del tiempo.
2. Para el instante en que tg(Ωt) = 1 / 2 halle
   1. La posición, velocidad y aceleración de la anilla.
   2. El triedro de Frenet referido a la base canónica
   3. Las componentes intrínsecas de la aceleración (escalares).
   4. El radio y el centro de curvatura.

2 Posición, velocidad y aceleración

2.1 Determinación de la posición

La posición en cada instante se halla conocida la distancia como

La distancia la calculamos resolviendo el triángulo OAP, del cual conocemos un lado y dos ángulos

El tercer ángulo sale de que la suma de los tres es π

Al haber dos ángulos iguales el triángulo es isósceles y los dos lados son iguales

lo que nos da la posición en cada instante

Es decir, la anilla describe un movimiento circular uniforme alrededor del origen de coordenadas, con velocidad angular 2Ω.

2.2 Velocidad

Derivamos una vez

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-2\Omega b\,\mathr{sen}(2\Omega t)\vec{\imath}+2\Omega b\cos(2\Omega t)\vec{\jmath}

2.3 Aceleración

Derivamos una segunda vez

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-4\Omega ^2b\,\mathr{cos}(2\Omega t)\vec{\imath}-4\Omega^2 b\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}