Anilla ensartada en dos varillas rotatorias (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado
2 Posición, velocidad y aceleración
3 Valores en un instante concreto

1 Enunciado

Una pequeña anilla se halla ensartada en las dos barras rotatorias de la figura. Las dos barras giran alrededor de puntos fijos

O

y

A

que distan una cantidad

b

. Las dos barras giran en sentido positivo, la de O con velocidad angular 2Ω y la de A con velocidad angular Ω. Inicialmente la barra de O se halla situada horizontalmente y la de A verticalmente.

Determine la posición, velocidad y aceleración de la anilla como función del tiempo.
Para el instante en que tg(Ωt) = 1 / 2 halle
1. La posición, velocidad y aceleración de la anilla.
2. El triedro de Frenet referido a la base canónica $\left\{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right\}$
3. Las componentes intrínsecas de la aceleración (escalares).
4. El radio y el centro de curvatura.

2 Posición, velocidad y aceleración

2.1 Determinación de la posición

La posición en cada instante se halla conocida la distancia $|\overrightarrow{OP}|$ como

$\vec{r}=|\overrightarrow{OP}|\left(\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)$

La distancia $|\overrightarrow{OP}|$ la calculamos resolviendo el triángulo OAP, del cual conocemos un lado y dos ángulos

$|\overrightarrow{OA}|=b\qquad\qquad \widehat{AOP}=2\Omega t\qquad\qquad \widehat{OAP}=\frac{\pi}{2}-\Omega t$

El tercer ángulo sale de que la suma de los tres es $π$

$\widehat{APO}=\pi-(2\Omega t)-\left(\frac{\pi}{2}-\Omega t\right)=\frac{\pi}{2}-\Omega t=\widehat{OAP}$

Al haber dos ángulos iguales el triángulo es isósceles y los dos lados son iguales

$|\overrightarrow{OP}|=|\overrightarrow{OA}|=b$

lo que nos da la posición en cada instante

$\vec{r}=b\left(\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)$

Es decir, la anilla describe un movimiento circular uniforme alrededor del origen de coordenadas, con velocidad angular $2Ω$ .

2.2 Velocidad

Derivamos una vez

$\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-2\Omega b\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\imath}+2\Omega b\cos(2\Omega t)\vec{\jmath}$

La rapidez de este movmiento es constante |\vec{v}|=2\Omega b

2.3 Aceleración

Derivamos una segunda vez

$\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-4\Omega ^2b\,\cos(2\Omega t)\vec{\imath}-4\Omega^2 b\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}$

Esta aceleración es puramente normal, como corresponde a un movimiento uniforme.

3 Valores en un instante concreto

Cuando $tg(Ω t) = 1 / 2$ se cumple

$\cos(2\Omega t)=\frac{1-(1/2)^2}{1+(1/2)^2}=\frac{3}{5}\qquad\qquad \mathrm{sen}(2\Omega t)=\frac{2(1/2)}{1+(1/2)^2}=\frac{4}{5}$

y por tanto, aplicando reiteradamente que se trata de un movimiento circular uniforme

Posición

$\vec{r}=\frac{3b}{5}\vec{\imath}+\frac{4b}{5}\vec{\jmath}$

Velocidad

$\vec{v}=-\frac{8\Omega b}{5}\vec{\imath}+\frac{6\Omega b}{5}\vec{\jmath}$

Aceleración

$\vec{a}=-\frac{12\Omega b}{5}\vec{\imath}-\frac{16\Omega b}{5}\vec{\jmath}$

Vector tangente

$\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=-\frac{4}{5}\vec{\imath}+\frac{3}{5}\vec{\jmath}$

Vector normal

$\vec{N}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=-\frac{3}{5}\vec{\imath}-\frac{4}{5}\vec{\jmath}$

Vector binormal

$\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\vec{k}$

Radio de curvatura

$R=b\,$

Centro de curvatura

$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OO}=\vec{0}$

Anilla ensartada en dos varillas rotatorias (GIE)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Posición, velocidad y aceleración

2.1 Determinación de la posición

2.2 Velocidad

2.3 Aceleración

3 Valores en un instante concreto

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