Anilla ensartada en dos varillas rotatorias (GIE)
De Laplace
Contenido |
1 Enunciado
Una pequeña anilla se halla ensartada en las dos barras rotatorias de la figura. Las dos barras giran alrededor de puntos fijos O y A que distan una cantidad b. Las dos barras giran en sentido positivo, la de O con velocidad angular 2Ω y la de A con velocidad angular Ω. Inicialmente la barra de O se halla situada horizontalmente y la de A verticalmente.![](/wiki/images/thumb/0/04/Barras-anilla.png/300px-Barras-anilla.png)
- Determine la posición, velocidad y aceleración de la anilla como función del tiempo.
- Para el instante en que tg(Ωt) = 1 / 2 halle
- La posición, velocidad y aceleración de la anilla.
- El triedro de Frenet referido a la base canónica
- Las componentes intrínsecas de la aceleración (escalares).
- El radio y el centro de curvatura.
2 Posición, velocidad y aceleración
2.1 Determinación de la posición
La posición en cada instante se halla conocida la distancia como
![\vec{r}=|\overrightarrow{OP}|\left(\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)](/wiki/images/math/9/b/8/9b8139e89b4564670a1561678add7ff4.png)
La distancia la calculamos resolviendo el triángulo OAP, del cual conocemos un lado y dos ángulos
![|\overrightarrow{OA}|=b\qquad\qquad \widehat{AOP}=2\Omega t\qquad\qquad \widehat{OAP}=\frac{\pi}{2}-\Omega t](/wiki/images/math/5/5/9/55918de39bc56081e67e46c8ae8f387e.png)
El tercer ángulo sale de que la suma de los tres es π
![\widehat{APO}=\pi-(2\Omega t)-\left(\frac{\pi}{2}-\Omega t\right)=\frac{\pi}{2}-\Omega t=\widehat{OAP}](/wiki/images/math/8/5/a/85a6a24799ca8777516e1fcace7c3644.png)
Al haber dos ángulos iguales el triángulo es isósceles y los dos lados son iguales
![|\overrightarrow{OP}|=|\overrightarrow{OA}|=b](/wiki/images/math/6/2/0/6209ac66a4d86c410582d370dbd0344f.png)
lo que nos da la posición en cada instante
![\vec{r}=b\left(\cos(2\Omega t)\vec{\imath}+\mathrm{sen}(2\Omega t)\right)](/wiki/images/math/f/0/3/f03f221da73928f85a8a56236c911844.png)
Es decir, la anilla describe un movimiento circular uniforme alrededor del origen de coordenadas, con velocidad angular 2Ω.
2.2 Velocidad
Derivamos una vez
![\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-2\Omega b\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\imath}+2\Omega b\cos(2\Omega t)\vec{\jmath}](/wiki/images/math/b/5/1/b51150c7d9f237e2980edb67d813b667.png)
La rapidez de este movmiento es constante |\vec{v}|=2\Omega b
2.3 Aceleración
Derivamos una segunda vez
![\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-4\Omega ^2b\,\cos(2\Omega t)\vec{\imath}-4\Omega^2 b\,\mathrm{sen}(2\Omega t)\vec{\jmath}](/wiki/images/math/c/6/c/c6c7e6526db50e232f88c894c9dde6e4.png)
Esta aceleración es puramente normal, como corresponde a un movimiento uniforme.
3 Valores en un instante concreto
Cuando tg(Ωt) = 1 / 2 se cumple
![\cos(2\Omega t)=\frac{1-(1/2)^2}{1+(1/2)^2}=\frac{3}{5}\qquad\qquad \mathrm{sen}(2\Omega t)=\frac{2(1/2)}{1+(1/2)^2}=\frac{4}{5}](/wiki/images/math/5/7/1/571361498b5c307ac1b0c0aba7e488b1.png)
y por tanto, aplicando reiteradamente que se trata de un movimiento circular uniforme
- Posición
![\vec{r}=\frac{3b}{5}\vec{\imath}+\frac{4b}{5}\vec{\jmath}](/wiki/images/math/d/4/d/d4dc8e0b65e8f809725ca1c1cf587316.png)
- Velocidad
![\vec{v}=-\frac{8\Omega b}{5}\vec{\imath}+\frac{6\Omega b}{5}\vec{\jmath}](/wiki/images/math/5/e/c/5ec7d60bd1db5e7b6d50fc6c375ad63f.png)
- Aceleración
![\vec{a}=-\frac{12\Omega b}{5}\vec{\imath}-\frac{16\Omega b}{5}\vec{\jmath}](/wiki/images/math/9/e/f/9efc93eb36c9a35439830f2e7a50c31a.png)
- Vector tangente
![\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=-\frac{4}{5}\vec{\imath}+\frac{3}{5}\vec{\jmath}](/wiki/images/math/0/d/e/0de628e0bb0f0c836b5281759090ede1.png)
- Vector normal
![\vec{N}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=-\frac{3}{5}\vec{\imath}-\frac{4}{5}\vec{\jmath}](/wiki/images/math/1/d/5/1d5d2e5be6801adb600bb7ec4d697fce.png)
- Vector binormal
![\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\vec{k}](/wiki/images/math/7/0/c/70c6ef4e03ed6198a9e7cca38b691f6b.png)
- Radio de curvatura
![R=b\,](/wiki/images/math/f/b/f/fbf26343a52245b7b6cc7bdddf4e6bb9.png)
- Centro de curvatura
![\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OO}=\vec{0}](/wiki/images/math/b/1/9/b19b0d7685d21ac3f3d4147cf6ecc594.png)