Dinámica impulsiva analítica (CMR)
De Laplace
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La generalización a fuerzas impulsivas es inmediata. Si consideramos que <math>F_i</math> es una fuerza impulsiva e integramos sobre la duración de la percusión resulta | La generalización a fuerzas impulsivas es inmediata. Si consideramos que <math>F_i</math> es una fuerza impulsiva e integramos sobre la duración de la percusión resulta | ||
| - | <center><math>P_k = \int_{t_1}^{t_1+\Delta t}Q_k\,\mathrm{d}t=\sum_i | + | <center><math>P_k = \int_{t_1}^{t_1+\Delta t}Q_k\,\mathrm{d}t=\sum_i \left(\int_{t_1}^{t_1+\Delta t}\vec{F}\,\mathrm{d}t\right) \frac{\partial x_i}{\partial q_k}</math></center> |
A esta cantidad se la conoce como ''impulso generalizado''. Puede corresponder a un impulso en una dirección o ser un par impulsivo que produce un giro. | A esta cantidad se la conoce como ''impulso generalizado''. Puede corresponder a un impulso en una dirección o ser un par impulsivo que produce un giro. | ||
==Ecuaciones de Lagrange impulsivas== | ==Ecuaciones de Lagrange impulsivas== | ||
| + | Una vez definidos los impulsos generalizados, las ecuaciones de la dinámica analítica en presencia de fuerzas impulsivas pueden escribirse de diferentes formas. Aquí solo consideraremos el caso más simple. | ||
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| + | <center><math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial K}{\partial\dot{q}_k}\right)-\frac{\partial K}{\partial q_k}=Q_k</math></center> | ||
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| + | Aquí <math>Q_k</math> incluye, en principio, todas las fuerzas: conservativas, no conservativas y de reacción vincular. En cada categoría, algunas pueden ser no impulsivas (actúan de forma distribuida en el tiempo, como el peso) o ser impulsiva (por ejemplo, colisiones). Separando en estas dos categorías | ||
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| + | <center><math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial K}{\partial\dot{q}_k}\right)-\frac{\partial K}{\partial q_k}=Q^\mathrm{imp}_k+Q^\mathrm{no\ imp}_k</math></center> | ||
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==Fuerzas de reacción impulsivas== | ==Fuerzas de reacción impulsivas== | ||
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Revisión de 23:58 3 feb 2017
Contenido |
1 Introducción
Al estudiar la mecánica en su formulación vectorial introducimos las fuerzas impulsivas como aquellas que era de una gran intensidad pero actuaban durante un breve periodo de tiempo. Idealmente, una fuerza impulsiva sería una de intensidad infinita que actúa durante un intervalo infinitesimal. Cuando actúa una fuerza de este tipo, se dice que el sistema ha experimentado una percusión.
Para caracterizar una fuerza impulsiva que actúa entre t1 y t1 + Δt, definimos el impulso
Esta cantidad mide la magnitud de la fuerza impulsiva, pero no es una fuerza, ya que se mide en N·s.
El efecto de una percusión sobre una partícula es modificar su velocidad, pero no su posición
Aquí el incremento se calcula como la diferencia entre el estado justo tras la percusión menos el estado inmediatamente previo a ella.
La posición no cambia porque se trata de la integral de la velocidad en el intervalo que dura la percusión. Dado que la velocidad no se hace infinita (aunque sea casi discontínua) y el intervalo tiende a 0, resulta que esta integral se anula.
Para el caso de un sistema de partículas con percusiones en los puntos Ai, tenemos los análogos al teorema de la cantidad de movimiento (TCM)
y del teorema del momento cinético
Aquí O es cualquier punto, no necesariamente inmóvil o el CM, aunque suele aplicarse a estos dos últimos casos.
Las percusiones internas se anulan como consecuencia de la tercera ley de Newton.
Las percusiones, tanto internas como externas, pueden ser aplicadas o pueden ser de reacción vincular.
2 Impulsos generalizados
Al escribir las ecuaciones de la mecánica en términos de coordenadas generalizadas, aparecen las fuerzas generalizadas
La generalización a fuerzas impulsivas es inmediata. Si consideramos que Fi es una fuerza impulsiva e integramos sobre la duración de la percusión resulta
A esta cantidad se la conoce como impulso generalizado. Puede corresponder a un impulso en una dirección o ser un par impulsivo que produce un giro.
3 Ecuaciones de Lagrange impulsivas
Una vez definidos los impulsos generalizados, las ecuaciones de la dinámica analítica en presencia de fuerzas impulsivas pueden escribirse de diferentes formas. Aquí solo consideraremos el caso más simple.
Las ecuacionesde Lagrange para un sistema pueden escribirse en la forma
Aquí Qk incluye, en principio, todas las fuerzas: conservativas, no conservativas y de reacción vincular. En cada categoría, algunas pueden ser no impulsivas (actúan de forma distribuida en el tiempo, como el peso) o ser impulsiva (por ejemplo, colisiones). Separando en estas dos categorías
