Ecuaciones de Lagrange (CMR)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 14:37 15 ene 2017

Contenido

1 Introducción
2 Ecuaciones de Euler-Lagrange
3 Fuerzas conservativas
4 Fuerzas de reacción vincular

1 Introducción

Al introducir las coordenadas generalizadas llegamos a que el principio de D'Alembert puede escribirse en la forma

$\sum_k(P_k-Q_k)\,\delta q_k = 0$

En el caso particular importante de que todos los vínculos sean holónomos y podamos definir 3N-r coordenadas generalizadas intependientes, cada uno de los coeficientes debe anularse por separado y obtenemos el sistema de ecuaciones

$(q_k\ \mbox{independientes})\qquad\qquad P_k=Q_k$

Aquí las cantidades $Q k$ son las fuerzas generalizadas

$Q_k = \sum_i F_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}$

a las que se le puede dar una interpretación relativamente simple: son las componentes (en un sentido amplio) de las fuerzas que pueden producir un cambio en la coordenada $q k$ . Si esta coordenada es cartesiana, $Q k$ representa una fuerza usual; si es un ángulo, representa el momento de una fuerza (que es el que produce un giro) y así sucesivamente.

Los términos $P k$ no tienen una interpretación inmediata. Se definen como

$P_k = \sum_i m_i\ddot{x}_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}$

y podemos decir que $- P k$ representa una fuerza de inercia generalizada, pero esta interpretación no aporta mucho, ya que esa fuerza de inercia requiere hallar la aceleración de las partículas, lo que es precisamente uno de los objetivos de la dinámica, por lo que no se pueden tratar como fuerzas aplicada.

En lo que sigue deduciremos expresiones alternativas para $P k$ que proporcionan un método sistemático para la determinación de estas fuerzas de inercia generalizadas que no requiera conocer la solución del problema que queremos resolver.

2 Ecuaciones de Euler-Lagrange

2.1 Dos identidades utiles

Definimos un conjunto de coordenadas generalizadas $q k$ de manera que las coordenadas cartesianas de las diferentes partículas se escriben

$x_i=x_i(q_k,t)\,$

A partir de las relaciones entre coordenadas hallamos la relación entre velocidades derivando

$\dot{x}_i=\sum_k\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\dot{q}_k+\frac{\partial x_i}{\partial t}$

La velocidad $\dot{x}_i$ es una función de las coordenadas generalizadas, de las velocidades generalizadas y del tiempo. De la expresión anterior se deduce que

$\frac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_k}=\frac{\partial x_i}{\partial q_k}$

Por otro lado, si hallamos la derivada total respecto al tiempo de la derivada parcial

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial x_i}{q_k}\right)=\sum_p\frac{\partial\ }{\partial q_p}\left(\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\right)+\frac{\partial\ }{\partial t}\left(\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\right)$

Por las propiedades de las derivadas parciales se puede invertir el orden de cada derivada cruzada

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\right)=\frac{\partial \ }{\partial q_k}\left(\sum_p\frac{\partial x_i}{\partial q_p}+\frac{\partial x_i}{\partial t}\right)=\frac{\partial\ }{\partial q_k}\left(\frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t}\right)$

Es decir, resulta la identidad

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial x_i}{q_k}\right)=\frac{\partial\dot{x}_i}{\partial q_k}$

2.2 Deducción de las ecuaciones

Partimos de la definición

$P_k = \sum_i m_i \ddot{x}_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}$

Aplicamos la derivada de un producto

$P_k = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\sum_i m_i\dot{x}_i\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\right)-\sum_i m_i\dot{x}_i\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial x_i}{\partial q_k}\right)$

Sustituimos aquí las dos identidades obtenidas anteriormente

$P_k = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\sum_i m_i\dot{x}_i\frac{\partial \dot{x}_i}{\partial \dot{q}_k}\right)-\sum_i m_i\dot{x}_i\left(\frac{\partial \dot{x}_i}{\partial q_k}\right)$

Si introducimos aquí la energía cinética K (que en mecánica analítica se escribe casi exclusivamente como T, pero por ser consistentes con la notación de otras páginas de este curso)

$K=\frac{1}{2}\sum_i m_i\dot{x}_i^2$

la identidad anterior equivale a

$P_k = \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial K}{\partial q_k}$

Llevando esto al principio de D'Alembert nos queda una primera ecuación de las ecuaciones de Lagrange

$\sum_k\left(\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial K}{\partial q_k}-Q_k\right)\delta q_k=0$

donde las $Q k$ no incluyen las fuerzas de reacción vincular. A esta ecuación hay que añadir las r ecuaciones de vínculo

$\sum_k B_{jk}\dot{q}_k+B_{j0}=0\qquad\qquad(j=1,\ldots,r)$

que permiten relacionar los desplazamientos virtuales

$\sum_k B_{jk}\delta q_k=0\qquad\qquad(j=1,\ldots,r)$

2.3 Coordenadas independientes

Cuando todos os vínculos son holónomos, es posible (en teoría; en la práctica pueden resultar ecuaciones irresolubles) elegir un sistema mínimo de tantas coordenadas como grados de libertad de forma que todos los vínculos se satisfagan automáticamente.

En ese caso, todos los desplazamientos virtuales son independientes y cada coeficiente se debe anular por separado, resultando las ecuaciones

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial K}{\partial q_k}=Q_k$

2.4 Fuerzas de reacción vincular

Si no todos los vínculos son holónomos o si deseamos hallar las fuerzas de reacción generalizadas debemos usar un conjunto de coordenadas generalizadas superior al de grados de libertad.

A cada vínculo le corresponde una fuerza de reacción generalizada que podemos reintroducir en el sistema como una fuerza aplicada mediante los multiplicadores de Lagrange

$\sum_k B_{jk} \mathrm{d}q_k+B_{j0}\,\delta t = 0\qquad\Rightarrow\qquad Q^n_k=\lambda B_k$

Al incluir cada una de estas fuerzas deja de aplicarse el vínculo correspondiente, aumentando en uno el número de diferenciales independientesy por tanto el número de ecuaciones

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial K}{\partial q_k}=Q_k+\sum_j \lambda_j B_{jk}$

3 Fuerzas conservativas

4 Fuerzas de reacción vincular

@@ Línea 70: / Línea 70: @@
 Llevando esto al principio de D'Alembert nos queda una primera ecuación de las ecuaciones de Lagrange
-<center><math>\sum_k\left(frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial K}{\partial q_k}-Q_k\right)\delta q_k=0</math></center>
+<center><math>\sum_k\left(\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{q}_k}\right)-\frac{\partial K}{\partial q_k}-Q_k\right)\delta q_k=0</math></center>
 donde las <math>Q_k</math> no incluyen las fuerzas de reacción vincular. A esta ecuación hay que añadir las r ecuaciones de vínculo
@@ Línea 92: / Línea 92: @@
 A cada vínculo le corresponde una fuerza de reacción generalizada que podemos reintroducir en el sistema como una fuerza aplicada mediante los multiplicadores de Lagrange
-<center><math>\sum_k B_k \mathrm{d}q_k+B_0\,\delta t = 0\qquad\Rightarrow\qquad Q^n_k=\lambda B_k</math></center>
+<center><math>\sum_k B_{jk} \mathrm{d}q_k+B_{j0}\,\delta t = 0\qquad\Rightarrow\qquad Q^n_k=\lambda B_k</math></center>
 Al incluir cada una de estas fuerzas deja de aplicarse el vínculo correspondiente, aumentando en uno el número de diferenciales independientesy por tanto el número de ecuaciones

Ecuaciones de Lagrange (CMR)

De Laplace

Revisión de 14:37 15 ene 2017

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1 Introducción

2 Ecuaciones de Euler-Lagrange

2.1 Dos identidades utiles

2.2 Deducción de las ecuaciones

2.3 Coordenadas independientes

2.4 Fuerzas de reacción vincular

3 Fuerzas conservativas

4 Fuerzas de reacción vincular

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