F1 GIA SPC 2015, Esfera con movimiento en función del tiempo
De Laplace
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última version al 12:10 30 nov 2016
Contenido |
1 Enunciado
Una esfera de radio a, se mueve en contacto con un plano Π = OX1Y1. El movimiento de la esfera queda completamente caracterizado, para todo instante de tiempo, por la reducción cinemática
- En qué instante(s) el movimiento de la esfera respecto del plano es una rotación pura instantánea?
- En qué instante la velocidad del centro C tiene módulo mínimo en el campo de velocidades de la esfera?
- Aceleración del punto de la esfera que ocupa la posición D de contacto con el plano, en el instante t0 = 2a / v0?
- Calcula la aceleración del punto de la esfera que ocupa la posición D de contacto con el plano, en el instante t0 = 2a / v0
2 Solución
2.1 Rotación pura instantánea
Para que el movimiento sea una rotación pura el invariante escalar debe ser cero y el vector rotación debe ser distinto de cero. El invariante escalar es
Igualando a cero obtenemos dos posible soluciones
En la segunda solución, también se tiene , por lo que respuesta correcta es la primera
2.2 Velocidad con módulo mínimo en el campo de velocidades
Cuando esto se cumple, el punto C debe estar en el eje instantáneo del movimiento. Para ello, los vectores y
deben ser paralelos, esto es
Haciendo el producto vectorial llegamos a la expresión
Este vector se anula para dos instantes de tiempo
Igual que antes, para t = t2 tenemos . En este caso no hay velocidad mínima del campo de velocidades, pues no existe el eje instantáneo. La solución correcta es
t = t1 = 0
2.3 Aceleración del punto D
Derivamos la reducción cinemática en D. Tenemos
Derivando la velocidad tenemos
Evaluamos la reducción cinemática y su derivada en el instante t = 2a / v0. Indicamos con el subíndice 0 los valores particulares en este instante de tiempo
Los valores de y
son los mismos que hemos encontrado antes, pues la aceleración y la aceleración angular son vectores constantes
Usamos la ecuación del campo de aceleraciones para relacionar las aceleraciones en los puntos C y D.
Del dibujo vemos que el vector geométrico es
Los vectores que aparecen son
Por otro lado
y
Sumando los tres términos tenemos