1.3. Fórmulas dimensionalmente incorrectas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 08:20 4 oct 2016

Contenido

1 Enunciado
2 Caso (a)
3 Caso (b)
4 Caso (c)
5 Caso (d)
6 Caso (e)
7 Caso (f)
8 Caso (g)
9 Caso (h)

1 Enunciado

Teniendo en cuenta las dimensiones calculadas en el problema 1.1, indique cuáles de las siguientes expresiones son necesariamente incorrectas (los símbolos son los usuales en mecánica):

a) $W = \frac{1}{2}mv^2 + gy$

b) $\vec{r}\times\vec{L} = R^2\vec{p}$

c) $\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}+\vec{v}\times\vec{p}$

d) $\frac{x-vt}{t-v/a} = \sqrt{\frac{W-Fx}{m}}$

e) $\int \vec{F}\,\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\vec{v}+ m\vec{a}t$

f) $\int (P-\vec{F}\cdot\vec{v})\,\mathrm{d}t = mgh + \frac{p^2}{2m}$

g) $P = m\frac{(v^2/R - a)}{(t-x/v)}(x-\pi R^2)$

h) $\int\frac{P-\vec{v}\cdot(\vec{a}+\vec{p}/m)}{v^2}\,\mathrm{d}t = \frac{m(t-2/t)}{v}$

2 Caso (a)

Para que una fórmula sea dimensionalmente correcta los dos miembros de la ecuación deben tener las mismas dimensiones, y lo mismo debe ocurrir con cada uno de los sumandos de las sumas o diferencias que aparezcan en ella.

En el primer caso

$W = \frac{1}{2}mv^2 + gy$

tenemos que el Trabajo trabajo tiene dimensiones de masa por velocidad al cuadrado

$[W]= M L^2T^{-2}\,$

De los términos del segundo miembro, el primero tiene claramente las mismas dimensiones que este

$\left[\frac{1}{2}mv^2\right] = [m][v]^2 = M(LT^{-1})^2 = ML^2T^{-2}\,$

mientras que el segundo tiene las dimensiones de una aceleración por una distancia

$[gy] = [a][y] = \left(LT^{-2}\right)L = L^2T^{-2}\,$

Puesto que aquí no hay ninguna potencia de la masa, que si aparece en los otros dos términos, esta fórmula es necesariamente incorrecta.

3 Caso (b)

En el segundo caso

$\vec{r}\times\vec{L} = R^2\vec{p}$

el primer miembro tiene dimensiones de un momento cinético por una distancia

$\left[\vec{r}\times\vec{L}\right] = [r][L] = L(ML^2T^{-1}) = ML^3T^{-1}$

y el segundo de una cantidad de movimiento por una superficie

$\left[R^2\vec{p}\right] = L^2(MLT^{-1}) = ML^3T^{-1}$

Puesto que las dimensiones de los miembros son coincidentes, esta fórmula puede ser correcta. Lo que no quiere decir que lo sea.

4 Caso (c)

En el tercer caso

$\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}+\vec{v}\times\vec{p}$

El primer miembro es el momento de una fuerza, que tiene la misma ecuación dimensional que el trabajo

$[M]= M L^2 T^{-2}\,$

En el segundo miembro tenemos, para el primer término

$\left[\vec{r}\times\vec{F}\right] = [r][F]=L(MLT^{-2}) = M L^2T^{-2}$

y para el segundo

$\left[\vec{v}\times\vec{p}\right]= [v][p]= (LT^{-1})(MLT^{-1}) = ML^2T^{-2}$

Puesto que todos los términos tienen las mismas dimensiones, la fórmula puede ser correcta.

5 Caso (d)

En el caso

$\frac{x-vt}{t-v/a} = \sqrt{\frac{W-Fx}{m}}$

Tenemos varias combinaciones que hay que verificar. Cada suma debe ser dimensionalmente correcta. En el primer miembro tenemos, en el denominador

$[x] = L\,$ $[vt]=[v][t]=(LT^{-1})T = L\,$

y en el denominador

$[t] = T\,$ $[v/a]=\frac{[v]}{[a]}=\frac{LT^{-1}}{LT^{-2}}=T$

Por tanto ambas sumas son simensionalmente correctas, obtenemos además que las dimensiones del cociente son

$\left[\frac{x-vt}{t-v/a}\right] = \frac{[x]}{[t]} = LT^{-1}$

Para el segundo miembro se cumple

$[W]= ML^2T^{-2}\,$

[F x] = (M L T - 2) L = M L 2 T - 2

que también es dimensionalmente correcta. Por último para la raíz cuadrada nos queda

$\left[\sqrt{\frac{W-Fx}{m}}\right]= \left(\frac{[W]}{[m]}\right)^{1/2} = \left(\frac{ML^2T^{-2}}{M}\right)^{1/2} = LT^{-1}$

Dado que estas dimensiones (de una velocidad) son las mismas que habíamos obtenido para el miembro, esta ecuación es dimensionalmente correcta.

6 Caso (e)

En la fórmula

$\int \vec{F}\,\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\vec{v}+ m\vec{a}t$

aparece una integral, que no es más que una suma de muchas cantidades muy pequeñas. Como toda suma, los sumandos deben ser dimensionalmente equivalentes y el resultado tiene las mismas dimensiones que cualquiera de ellos. En este caso

$\left[\int \vec{F}\,\mathrm{d}t\right] = [F][t]=MLT^{-1}$

En el segundo miembro tenemos, para el primer sumando

$\left[\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\vec{v}\right] = \frac{[m]}{[t]}[v] = \frac{M}{T}LT^{-1} = M LT^{-2}$

Estas dimensiones no coinciden con las del primer miembro, por lo que ya no hace falta seguir. Esta fórmula es necesariamente incorrecta.

7 Caso (f)

Para la fórmula

$\int (P-\vec{F}\cdot\vec{v})\,\mathrm{d}t = mgh + \frac{p^2}{2m}$

Analizamos en primer lugar el paréntesis del integrando

$[P] = ML^2T^{-3}\,$ $\left[\vec{F}\cdot\vec{v}\right] = [F][v] = (MLT^{-2})(LT^{-1}) = ML^2T^{-3}$

por lo que la suma es dimensionalmente correcta. Las dimensiones de la integral son

$\left[\int (P-\vec{F}\cdot\vec{v})\,\mathrm{d}t\right] =[P][t] = ML^2T^{-2}$

Para el segundo miembro, el primer sumando tiene por dimensiones

$[mgh] = [m][g][h] = M(LT^{-2})L = ML^2 T^{-2}\,$

que son las mismas del primer miembro. Para el segundo sumando

$\left[\frac{p^2}{2m}\right] = \frac{[p]^2}{[m]} = \frac{(MLT^{-1})^2}{M} = ML^2T^{-2}$

Por tanto, la fórmula es dimensionalmente correcta.

8 Caso (g)

En la expresión

$P = m\frac{(v^2/R - a)}{(t-x/v)}(x-\pi R^2)$

aparecen muchos factores que habría que analizar por separado. Sin embargo, es fácil ver que esta fórmula es incorrecta. En el último factor tenemos la combinación

$(x-\pi R^2)\,$

en la cual se suma una longitud (de dimensión $L$ ) con un área (de dimensión $L 2$ ), lo cual es incorrecto y por ello toda la fórmula está mal.

9 Caso (h)

Por último, para la fórmula

$\int\frac{P-\vec{v}\cdot(\vec{a}+\vec{p}/m)}{v^2}\,\mathrm{d}t = \frac{m(t-2/t)}{v}$

el razonamiento es idéntico al del caso anterior. En el numerador del segundo miembro se resta de un tiempo (de dimensión $T$ ) la inversa de un tiempo (de dimensión $T - 1$ ) lo cual no es admisible y no hace falta seguir.

@@ Línea 111: / Línea 111: @@
 En el segundo miembro tenemos, para el primer sumando
-<center><math>\left[\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\right] = \frac{[m]}{[t]}[v] = \frac{M}{T}LT^{-1} = M LT^{-2}</math></center>
+<center><math>\left[\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}\vec{v}\right] = \frac{[m]}{[t]}[v] = \frac{M}{T}LT^{-1} = M LT^{-2}</math></center>
 Estas dimensiones no coinciden con las del primer miembro, por lo que ya no hace falta seguir. Esta fórmula es necesariamente incorrecta.

1.3. Fórmulas dimensionalmente incorrectas

De Laplace

última version al 08:20 4 oct 2016

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1 Enunciado

2 Caso (a)

3 Caso (b)

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