Cinco planos conductores

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 20:37 23 ene 2009

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Cinco placas cuadradas de lado

L

, conductoras, se encuentran en la disposición indicada en la figura. La distancia entre cada par de placas paralelas es

a

( $a\ll L$ ).

Las dos placas exteriores se encuentran permanentemente a tierra, de forma que funcionan como referencia de potencial.

En todo momento, la segunda placa se encuentra puesta a potencial $V 0$ mientras que la cuarta almacena una carga $Q 0$ . La placa central se encuentra aislada y descargada.

Considerando el sistema de 3 conductores formado por las tres placas intermedias, halle la matriz de coeficientes de capacidad,
Halle la carga almacenada en cada una de las cinco placas cuadradas, así como la tensión de cada una.
Calcule la energía electrostática del sistema.
Calcule el valor del campo eléctrico en cada uno de los condensadores que se forman.
Si la placa central se conecta a tierra, ¿cómo cambian las cargas, los voltajes y la energía almacenada?

Desprecie los efectos de borde.

2 Solución

2.1 Coeficientes de capacidad

El sistema se compone de tres conductores vivos (en el sentido de que sus tensiones se pueden variar) más los dos exteriores, que actúan como la tierra del sistema. Esto es, no se trata de que haya que actuar como si las dos placas exteriores no estuvieran, sino que éstas desempeñan el papel que en otros sistemas (como los de dos esferas) le corresponde al infinito.

Tenemos el sistema de tres conductores, que se puede modelar por un circuito equivalente con tres nodos y, en principio, seis condensadores (tres entre los nodos y tres con tierra). Sin embargo, es evidente que nos bastan solo cuatro condensadores, los que forman cada para de placas consecutivas. Puesto que no hay líneas de campo que vayan de la placa 1 a la 3, ni de la 2 a tierra

$\overline{C}_{13}=\overline{C}_{22}=0$

La capacidad de cada uno de estos condensadores es igual en todos los casos a

$C_0 \equiv \frac{\varepsilon_0L^2}{a}$

Las capacidades del circuito equivalente son entonces

$\overline{C}_{11}=\overline{C}_{12}=\overline{C}_{23}=\overline{C}_{33}=C_0$

A partir de aquí obtenemos los coeficientes de capacidad

$C_{11}=\overline{C}_{11}+\overline{C}_{12} +\overline{C}_{13}=2C_0$ $C_{12}=-\overline{C}_{12}=-C_0$ $C_{13}=-\overline{C}_{13}=0$ $C_{22}=\overline{C}_{22}+\overline{C}_{12} +\overline{C}_{23}=2C_0$ $C_{23}=-\overline{C}_{23}=-C_0$ $C_{33}=\overline{C}_{33}+\overline{C}_{13} +\overline{C}_{23}=2C_0$

siendo el resto simétricos a éstos.

En forma matricial

$\mathsf{C}=C_0\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix}$

Esta matriz cumple, como era de esperar, que es simétrica, que los términos de la diagonal principal son estrictamente positivos y que los no diagonales son negativos o nulos.

A este resultado se puede llegar de forma quizás más intuitiva a partir de las relaciones entre las cargas y las tensiones. La carga en cada una de las placas es la suma de las que hay en cada cara. A su vez, éstas son las cargas de placas de condensadores planos. Por tanto

$\begin{matrix}Q_1 & = & C_0 V_1 + C_0\left(V_1 - V_2\right) & = & C_0\left(2V_1-V_2\right)\\Q_2 & = & C_0\left(V_2-V_1\right) + C_0\left(V_2 - V_3\right) & = & C_0\left(-V_1+2V_2-V_3\right)\\Q_3 &= &C_0\left(V_3-V_2\right) + C_0V_3 &= &C_0\left(-V_2+2V_3\right)\end{matrix}$

y, en forma matricial, queda

$\begin{pmatrix}Q_1\\Q_2\\Q_3\end{pmatrix} = C_0\begin{pmatrix}2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}V_1\\V_2\\V_3\end{pmatrix}$

2.2 Cargas y tensiones

El cálculo del apartado anterior es completamente general en cuanto a los valores de las tensiones y las cargas. No hace falta usar para nada los valores del caso concreto del enunciado. Estos valores se usarán ahora, cuando se trata de aplicar las ecuaciones anteriores a un caso particular.

Nuestros datos son

$V_1 = V_0\,$ $Q_2 = 0\,$ $Q_3 = Q_0\,$

Nótese que de la placa central, por estar aislada y descargada, lo que conocemos es su carga (nula), no su tensión.

Sustituyendo esto en el sistema de ecuaciones

$Q_1 = C_0\left(2V_0-V_2\right)$ $0 = C_0\left(-V_0+2V_2-V_3\right)$ $Q_0 = C_0\left(-V_2+2V_3\right)$

Resolviendo para $V 2$

V 3 = 2 V 2 - V 0

$\frac{Q_0}{C_0}=-V_2+4V_2-2V_0$ $\Rightarrow$ $V_2 = \frac{Q_0}{3C_0}+\frac{2V_0}{3}$

y de aquí hallamos $Q 1$ y $V 3$

$Q_1 = C_0\left(2V_0-V_2\right) = -\frac{Q_0}{3}+\frac{4C_0V_0}{3}$ $V_3 = 2V_2-V_0 = \frac{2Q_0}{3C_0}+\frac{V_0}{3}$

Reuniendo todos los resultados

$V_1 = V_0\qquad V_2 = \frac{Q_0}{3C_0}+\frac{2V_0}{3}\qquad V_3 = 2V_2-V_0 = \frac{2Q_0}{3C_0}+\frac{V_0}{3}$ $Q_1 = -\frac{Q_0}{3}+\frac{4C_0V_0}{3}\qquad Q_2 = 0 \qquad Q_3 = Q_0$

2.3 Energía electrostática

2.4 Campo eléctrico

2.5 Conexión a tierra

@@ Línea 64: / Línea 64: @@
 Sustituyendo esto en el sistema de ecuaciones
 <center><math>
-Q_1 = C_0\left(2V_0-V_2\right)</math>{{qquad}}<math>0 = C_0\left(-V_0+2V_2-V_3\right}</math>{{qquad}}<math>Q_0 = C_0\left(-V_2+2V_3\right)</math></center>
+Q_1 = C_0\left(2V_0-V_2\right)</math>{{qquad}}<math>0 = C_0\left(-V_0+2V_2-V_3\right)</math>{{qquad}}<math>Q_0 = C_0\left(-V_2+2V_3\right)</math></center>
 Resolviendo para <math>V_2</math>

Cinco planos conductores

De Laplace

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Coeficientes de capacidad

2.2 Cargas y tensiones

2.3 Energía electrostática

2.4 Campo eléctrico

2.5 Conexión a tierra

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