Cinco planos conductores
De Laplace
(→Coeficientes de capacidad) |
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<center><math>Q_1 = C_0 V_1 + C_0\left(V_1 - V_2\right) = C_0\left(2V_1-V_2\right)</math></center> | <center><math>Q_1 = C_0 V_1 + C_0\left(V_1 - V_2\right) = C_0\left(2V_1-V_2\right)</math></center> | ||
| - | <center><math>Q_2 = C_0\left(V_2-V_1) + C_0\left(V_2 - V_3\right) = C_0\left(-V_1+2V_2-V_3\right)</math></center> | + | <center><math>Q_2 = C_0\left(V_2-V_1\right) + C_0\left(V_2 - V_3\right) = C_0\left(-V_1+2V_2-V_3\right)</math></center> |
| - | <center><math>Q_3 = C_0\left(V_3-V_2) + C_0V_3 = C_0\left(-V_2+2V_3\right)</math></center> | + | <center><math>Q_3 = C_0\left(V_3-V_2\right) + C_0V_3 = C_0\left(-V_2+2V_3\right)</math></center> |
y, en forma matricial, queda | y, en forma matricial, queda | ||
Revisión de 18:45 23 ene 2009
Contenido |
1 Enunciado
).
Las dos placas exteriores se encuentran permanentemente a tierra, de forma que funcionan como referencia de potencial.
En todo momento, la segunda placa se encuentra puesta a potencial V0 mientras que la cuarta almacena una carga Q0. La placa central se encuentra aislada y descargada.
- Considerando el sistema de 3 conductores formado por las tres placas intermedias, halle la matriz de coeficientes de capacidad,
- Halle la carga almacenada en cada una de las cinco placas cuadradas, así como la tensión de cada una.
- Calcule la energía electrostática del sistema.
- Calcule el valor del campo eléctrico en cada uno de los condensadores que se forman.
- Si la placa central se conecta a tierra, ¿cómo cambian las cargas, los voltajes y la energía almacenada?
Desprecie los efectos de borde.
2 Solución
2.1 Coeficientes de capacidad
El sistema se compone de tres conductores vivos (en el sentido de que sus tensiones se pueden variar) más los dos exteriores, que actúan como la tierra del sistema. Esto es, no se trata de que haya que actuar como si las dos placas exteriores no estuvieran, sino que éstas desempeñan el papel que en otros sistemas (como los de dos esferas) le corresponde al infinito.
Tenemos el sistema de tres conductores, que se puede modelar por un circuito equivalente con tres nodos y, en principio, seis condensadores (tres entre los nodos y tres con tierra). Sin embargo, es evidente que nos bastan solo cuatro condensadores, los que forman cada para de placas consecutivas. Puesto que no hay líneas de campo que vayan de la placa 1 a la 3, ni de la 2 a tierra
La capacidad de cada uno de estos condensadores es igual en todos los casos a
Las capacidades del circuito equivalente son entonces
A partir de aquí obtenemos los coeficientes de capacidad
siendo el resto simétricos a éstos.
En forma matricial
Esta matriz cumple, como era de esperar, que es simétrica, que los términos de la diagonal principal son estrictamente positivos y que los no diagonales son negativos o nulos.
A este resultado se puede llegar de forma quizás más intuitiva a partir de las relaciones entre las cargas y las tensiones. La carga en cada una de las placas es la suma de las que hay en cada cara. A su vez, éstas son las cargas de placas de condensadores planos. Por tanto
y, en forma matricial, queda
