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Divergencia de un campo vectorial

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Fuentes escalares de un campo vectorial)
(→Fuentes escalares de un campo vectorial)
Línea 45: Línea 45:
La divergencia es una cantidad escalar con signo. Este signo posee significado geométrico y físico:  
La divergencia es una cantidad escalar con signo. Este signo posee significado geométrico y físico:  
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* Si la divergencia de un campo vectorial en un punto es positiva, quiere decir que en dicho punto el campo mana hacia el exterior. Se dice que esa posición el campo vectorial posee  un ''manantial''.  
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* Si la divergencia de un campo vectorial en un punto es positiva, quiere decir que en dicho punto el campo radia hacia el exterior. Se dice que esa posición el campo vectorial posee  un ''manantial''.  
* Si por contra la divergencia es negativa, el campo converge hacia dicho punto; se dice que el campo posee un ''sumidero''.
* Si por contra la divergencia es negativa, el campo converge hacia dicho punto; se dice que el campo posee un ''sumidero''.
Línea 53: Línea 53:
* Si la divergencia es nula en un punto el campo ''carece de fuentes escalares'' en dicho punto.
* Si la divergencia es nula en un punto el campo ''carece de fuentes escalares'' en dicho punto.
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El concepto de divergencia se define para cada punto. A partir de esta definición, puede construirse un campo escalar a partir de uno vectorial,
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El concepto de divergencia se define para cada punto. A partir de esta definición, puede construirse un campo escalar a partir de uno vectorial, cuyo valor es igual a la divergencia del campo vectorial en dicho punto
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<center><math>\rho(\mathbf{r})=\nabla\cdot\mathbf{A}</math></center>
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Este campo <math>\rho</math>, que rescribe la distribución de manantiales y sumideros del campo vectorial, se conoce como ''fuentes escalares'' de <math>\mathbf{A}</math>.
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El uso de la palabra ''fuentes'' para algo que parece derivarse de otra cosa, se debe a que en la práctica el camino es el contrario: lo que se conoce habitualmente son las fuentes del campo y la cantidad que hay que calcular es el propio campo vectorial. En este sentido las fuentes &ldquo;producen&rdquo; el campo.
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El ejemplo físico más sencillo es el del campo electrostático. Las cargas eléctricas (que son las fuentes escalares) producen el campo eléctrico. El campo eléctrico radia hacia el exterior de las cargas positivas, que son sus manantiales, y converge hacia las cargas negativas, que son sus sumideros.
==Campo solenoidal==
==Campo solenoidal==

Revisión de 18:21 31 dic 2008

Contenido

1 Introducción

2 Definición

Se define la divergencia de un campo vectorial \mathbf{A} en un punto \mathbf{r}_0 como el límite

\mathrm{div}\,\mathbf{A}=\nabla\cdot\mathbf{A}=\lim_{\tau\to 0}\frac{1}{\tau} \oint_{\partial\tau}\mathbf{A}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}

donde el límite se toma sobre volúmenes τ cada vez más pequeños que tienden al punto \mathbf{r}_0

La divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar.

Esta cantidad es independiente de la sucesión de volúmenes que se tomen con tal de que converjan en el mismo punto de manera uniforme.

2.1 Ejemplo

Vamos a calcular la divergencia de \mathbf{A}=\mathbf{r} en \mathbf{r}_0 = \mathbf{0}.

En el artículo sobre flujo de un campo vectorial se ve que si consideramos una superficie cúbica de arista 2a en torno al origen de coordenadas, el flujo del vector de posición a través de esta superficie es

\Phi = 24 a^3\,

El volumen de este cubo es

\tau = (2a)^3 = 8a^3\,

Por tanto la divergencia en \mathbf{r}_0 = \mathbf{0} es

\left.\nabla\cdot\mathbf{r}\right|_{\mathbf{0}} = \lim_{a\to 0 }\frac{24a^3}{8a^3} = 3

Calculemos ahora esta misma divergencia pero considerando esferas de radio R en torno al origen. Para cada una de estas esferas el volumen es

\tau = \frac{4\pi R^3}{3}

y el flujo a través de la superficie esférica

\Phi = \oint \mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}= \oint_{r=R} \left(R\mathbf{u}_r\right)\cdot\left(\mathbf{u}_r\mathrm{d}S\right) = RS = 4\pi R^3

por lo que la divergencia en \mathbf{r}=\mathbf{0} es

\left.\nabla\cdot\mathbf{r}\right|_{\mathbf{0}} = \lim_{R\to 0}\frac{4\pi R^3}{4\pi R^3/3} = 3

Vemos que el resultado es independiente de que lo hayamos calculado usando cubos o esferas.

Hay que destacar que lo que hemos calculado es la divergencia en un solo punto.

3 Fuentes escalares de un campo vectorial

La divergencia es una cantidad escalar con signo. Este signo posee significado geométrico y físico:

  • Si la divergencia de un campo vectorial en un punto es positiva, quiere decir que en dicho punto el campo radia hacia el exterior. Se dice que esa posición el campo vectorial posee un manantial.
  • Si por contra la divergencia es negativa, el campo converge hacia dicho punto; se dice que el campo posee un sumidero.

Ambos, manantiales y sumideros, constituyen las fuentes escalares de un campo vectorial; por ello

  • Si la divergencia es nula en un punto el campo carece de fuentes escalares en dicho punto.

El concepto de divergencia se define para cada punto. A partir de esta definición, puede construirse un campo escalar a partir de uno vectorial, cuyo valor es igual a la divergencia del campo vectorial en dicho punto

\rho(\mathbf{r})=\nabla\cdot\mathbf{A}

Este campo ρ, que rescribe la distribución de manantiales y sumideros del campo vectorial, se conoce como fuentes escalares de \mathbf{A}.

El uso de la palabra fuentes para algo que parece derivarse de otra cosa, se debe a que en la práctica el camino es el contrario: lo que se conoce habitualmente son las fuentes del campo y la cantidad que hay que calcular es el propio campo vectorial. En este sentido las fuentes “producen” el campo.

El ejemplo físico más sencillo es el del campo electrostático. Las cargas eléctricas (que son las fuentes escalares) producen el campo eléctrico. El campo eléctrico radia hacia el exterior de las cargas positivas, que son sus manantiales, y converge hacia las cargas negativas, que son sus sumideros.

4 Campo solenoidal

5 Expresión de la divergencia

6 Ejemplos

7 Teorema de Gauss

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Divergencia_de_un_campo_vectorial"

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