Divergencia de un campo vectorial
De Laplace
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Vamos a calcular la divergencia de <math>\mathbf{A}=\mathbf{r}</math> en <math>\mathbf{r}_0 = \mathbf{0}</math>. | Vamos a calcular la divergencia de <math>\mathbf{A}=\mathbf{r}</math> en <math>\mathbf{r}_0 = \mathbf{0}</math>. | ||
| - | En el artículo sobre [[flujo de un campo vectorial]] se ve que si consideramos una superficie cúbica de arista <math>2a</math> en torno al origen de coordenadas, el flujo del vector de posición a través de esta superficie es | + | En el artículo sobre [[flujo de un campo vectorial#Ejemplo_2]] se ve que si consideramos una superficie cúbica de arista <math>2a</math> en torno al origen de coordenadas, el flujo del vector de posición a través de esta superficie es |
<center><math>\Phi = 24 a^3\,</math></center> | <center><math>\Phi = 24 a^3\,</math></center> | ||
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<center><math>\left.\nabla\cdot\mathbf{r}\right|_{\mathbf{0}} = \lim_{a\to 0 }\frac{24a^3}{8a^3} = 3</math></center> | <center><math>\left.\nabla\cdot\mathbf{r}\right|_{\mathbf{0}} = \lim_{a\to 0 }\frac{24a^3}{8a^3} = 3</math></center> | ||
| - | Calculemos ahora esta misma divergencia pero considerando esferas de radio <math>R</math> en torno al origen. Para cada una de estas esferas | + | Calculemos ahora esta misma divergencia pero considerando esferas de radio <math>R</math> en torno al origen. Para cada una de estas esferas el volumen es |
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\tau = \frac{4\pi R^3}{3}</math></center> | \tau = \frac{4\pi R^3}{3}</math></center> | ||
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| + | y el flujo a través de la superficie esférica | ||
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| + | <center><math>\Phi = \oint \mathbf{r}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}= \oint_{r=R) \left(R\mathbf{u}_r\right)\cdot\left(\mathbf{u}_r\mathrm{d}S\right) = RS = 4\pi R^3</math></center> | ||
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| + | por lo que la divergencia en <math>\mathbf{r}=\mathbf{0}</math> es | ||
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| + | <center><math>\left.\nabla\cdot\mathbf{r}\right|_{\mathbf{0}} = \lim_{R\to 0 }\frac{4\pi R^3}{4\pi R^3/3} = 3</math></center> | ||
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| + | Vemos que el resultado es independiente de que lo hayamos calculado usando cubos o esferas. | ||
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| + | Hay que destacar que lo que hemos calculado es la divergencia ''en un solo punto''. | ||
==Fuentes escalares de un campo vectorial== | ==Fuentes escalares de un campo vectorial== | ||
Revisión de 20:14 30 dic 2008
Contenido |
1 Introducción
2 Definición
Se define la divergencia de un campo vectorial 
en un punto 
como el límite
donde el límite se toma sobre volúmenes τ cada vez más pequeños que tienden al punto
La divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar.
Esta cantidad es independiente de la sucesión de volúmenes que se tomen con tal de que converjan en el mismo punto de manera uniforme.
2.1 Ejemplo
Vamos a calcular la divergencia de 
en 
.
En el artículo sobre flujo de un campo vectorial#Ejemplo_2 se ve que si consideramos una superficie cúbica de arista 2a en torno al origen de coordenadas, el flujo del vector de posición a través de esta superficie es
El volumen de este cubo es
Por tanto la divergencia en es
Calculemos ahora esta misma divergencia pero considerando esferas de radio R en torno al origen. Para cada una de estas esferas el volumen es
y el flujo a través de la superficie esférica
por lo que la divergencia en 
es
Vemos que el resultado es independiente de que lo hayamos calculado usando cubos o esferas.
Hay que destacar que lo que hemos calculado es la divergencia en un solo punto.
