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Fundamentos matemáticos

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Gradiente)
(→Operadores diferenciales)
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==Campos escalares y vectoriales==
==Campos escalares y vectoriales==
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==Operadores diferenciales==
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==Gradiente==
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De los campos escalares y vectoriales es importante no sólo conocer su valor, sino también como varían con la posición. De entre las diferentes combinaciones de derivadas que se pueden construir, existen algunas con un significado físico propio.
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===Gradiente===
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{{ac|Gradiente}}
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Dado un campo escalar <math>\phi\,</math>, su gradiente, <math>\nabla\phi\,</math>, es un campo vectorial definido como el único vector que dados dos puntos vecinos <math>\mathbf{r}</math> y <math>\mathbf{r}+\mathrm{d}\mathbf{r}</math>, permite hallar el diferencial de <math>\phi</math> como
Dado un campo escalar <math>\phi\,</math>, su gradiente, <math>\nabla\phi\,</math>, es un campo vectorial definido como el único vector que dados dos puntos vecinos <math>\mathbf{r}</math> y <math>\mathbf{r}+\mathrm{d}\mathbf{r}</math>, permite hallar el diferencial de <math>\phi</math> como
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Del campo <math>\mathbf{F} = -\nabla\phi</math> se dice que deriva del ''[[potencial escalar]]'' <math>\phi\,</math>.
Del campo <math>\mathbf{F} = -\nabla\phi</math> se dice que deriva del ''[[potencial escalar]]'' <math>\phi\,</math>.
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===Flujo de un campo vectorial===
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===Divergencia===
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Gráficamente, la divergencia es una medida de si el campo brota de un punto (divergencia positiva), se concentra hacia él (divergencia negativa) o ninguna de las dos cosas (divergencia nula). Un campo que tiene divergencia nula en todos los puntos se denomina [[campo solenoidal]].
Gráficamente, la divergencia es una medida de si el campo brota de un punto (divergencia positiva), se concentra hacia él (divergencia negativa) o ninguna de las dos cosas (divergencia nula). Un campo que tiene divergencia nula en todos los puntos se denomina [[campo solenoidal]].
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===Teorema de Gauss===
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===Rotacional===
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A partir de la definición se deduce que el rotacional se puede calcular como la aplicación del operador nabla como un producto vectorial  sobre <math>\mathbf{F}</math>.
A partir de la definición se deduce que el rotacional se puede calcular como la aplicación del operador nabla como un producto vectorial  sobre <math>\mathbf{F}</math>.
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El campo vectorial que se obtiene a partir de <math>\mathbf{F}</math> hallando su rotacional en cada punto se denomina como ''[[fuentes vectoriales]]'' de <math>\mathbf{F}</math>. Un campo cuyas fuentes vectoriales son nulas se conoce como [[campo irrotacional|irrotacional]] o [[campo irrotacional|potencial]].
El campo vectorial que se obtiene a partir de <math>\mathbf{F}</math> hallando su rotacional en cada punto se denomina como ''[[fuentes vectoriales]]'' de <math>\mathbf{F}</math>. Un campo cuyas fuentes vectoriales son nulas se conoce como [[campo irrotacional|irrotacional]] o [[campo irrotacional|potencial]].
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===Teorema de Stokes===
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==Otros operadores y teoremas de primer orden==
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===Operadores de segundo orden===
===Operadores de segundo orden===

Revisión de 12:21 27 dic 2008

Contenido

1 Introducción

2 Sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas

Artículo completo: Sistemas de coordenadas

3 Campos escalares y vectoriales

4 Gradiente

Artículo completo: Gradiente

Dado un campo escalar \phi\,, su gradiente, \nabla\phi\,, es un campo vectorial definido como el único vector que dados dos puntos vecinos \mathbf{r} y \mathbf{r}+\mathrm{d}\mathbf{r}, permite hallar el diferencial de φ como

\mathrm{d}\phi = \phi(\mathbf{r}+\mathrm{d}\mathbf{r})-\phi(\mathbf{r}) = (\nabla\phi){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}

A partir de esta definición se obtiene que la expresión de \nabla\phi en un sistema coordenado ortogonal es

\nabla\phi = \frac{1}{h_1}\,\frac{\partial \phi}{\partial q_1}\mathbf{u}_{1}+ \frac{1}{h_2}\,\frac{\partial \phi}{\partial q_2}\mathbf{u}_{2} +\frac{1}{h_3}\,\frac{\partial \phi}{\partial q_3}\mathbf{u}_{3}

con aplicación inmediata a los tres sistemas más comunes.

Este vector puede leerse como la aplicación de un operador vectorial \nabla (llamado operador nabla) al campo escalar, siendo

\nabla = \frac{\mathbf{u}_{1}}{h_1}\,\frac{\partial\ }{\partial q_1}+ \frac{\mathbf{u}_{2}}{h_2}\,\frac{\partial\ }{\partial q_2} +\frac{\mathbf{u}_{3}}{h_3}\,\frac{\partial\ }{\partial q_3}

Entre las propiedades del gradiente destaca la de ser normal a las superficies equipotenciales.

Del campo \mathbf{F} = -\nabla\phi se dice que deriva del potencial escalar \phi\,.

5 Flujo y divergencia

5.1 Flujo de un campo vectorial

Artículo completo: Flujo de un campo vectorial

5.2 Divergencia

Artículo completo: Divergencia

La divergencia, \nabla{\cdot}\mathbf{A}, de un campo vectorial \mathbf{A} se define como el límite, cuando un volumen Δτ se reduce a un punto, del flujo del campo a través de la frontera de Δτ, dividido por el volumen del elemento

\nabla{\cdot}\mathbf{A}=\lim_{\Delta\tau\to 0}\frac{1}{\Delta\tau}\oint_{\partial\tau}\mathbf{A}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}

A partir de esta definición puede demostrarse que la divergencia de un campo puede calcularse como la aplicación del operador \nabla escalarmente sobre \mathbf{A}. Su expresión en distintos sistemas y en general se indica en la tabla correspondiente.

La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar ρ, denominado las fuentes escalares de \mathbf{A}

\rho(\mathbf{r})=\nabla{\cdot}\mathbf{A}

Gráficamente, la divergencia es una medida de si el campo brota de un punto (divergencia positiva), se concentra hacia él (divergencia negativa) o ninguna de las dos cosas (divergencia nula). Un campo que tiene divergencia nula en todos los puntos se denomina campo solenoidal.

5.3 Teorema de Gauss

Artículo completo: Teorema de Gauss

6 Circulación y rotacional

6.1 Circulación de un campo vectorial

Artículo completo: Circulación de un campo vectorial

6.2 Rotacional

Artículo completo: Rotacional

El rotacional, \nabla\times\mathbf{F}, de un campo vectorial \mathbf{F} es un vector, cuya componente en un punto \mathbf{r}, según la dirección dada por un vector unitario \mathbf{u}_{} es

(\nabla\times\mathbf{F}){\cdot}\mathbf{u}_{} =\lim_{\Delta S\to 0} \frac{1}{\Delta S}\oint_\Gamma \mathbf{F}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}

siendo Γ una curva que se reduce a un punto, y ΔS el área delimitada por la curva. La dirección normal al plano de la curva es la dada por \mathbf{u}_{} y la orientación la que establece la regla de la mano derecha.

A partir de la definición se deduce que el rotacional se puede calcular como la aplicación del operador nabla como un producto vectorial sobre \mathbf{F}.


El campo vectorial que se obtiene a partir de \mathbf{F} hallando su rotacional en cada punto se denomina como fuentes vectoriales de \mathbf{F}. Un campo cuyas fuentes vectoriales son nulas se conoce como irrotacional o potencial.

6.3 Teorema de Stokes

Artículo completo: Teorema de Stokes

7 Otros operadores y teoremas de primer orden

7.1 Operadores de segundo orden

8 Ángulo sólido

9 Teoremas integrales

10 Teoremas de unicidad

11 Problemas

Artículo completo: Problemas de fundamentos matemáticos
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Fundamentos_matem%C3%A1ticos"

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