Disco contenido en plano rotante, Enero 2015 (F1 GIA)
De Laplace
(Página creada con '==Enunciado == right Un disco de radio <math>R </math> (sólido "2"), se mueve siempre contenido en el plano <math>O…') |
|||
(Una edición intermedia no se muestra.) | |||
Línea 4: | Línea 4: | ||
== Solución == | == Solución == | ||
- | |||
== Información cinemática del enunciado == | == Información cinemática del enunciado == | ||
Línea 22: | Línea 21: | ||
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \vec{a}^{\,C}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right| = \vec{0} | + | \vec{a}^{\,C}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \vec{0} |
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
- | El | + | El movimiento {20} es una rotación instantánea, con el eje perpendicular al plano del disco, por tanto |
<center> | <center> | ||
<math> | <math> | ||
- | \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_0\qquad \vec{v}^{\,O_1}_{01} = \vec{0} | + | \vec{\omega}_{20} = \omega_{20}\,\vec{\jmath}_0 |
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Usamos el teorema de Chasles para calcular <math>\omega_{20} </math> | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \left. | ||
+ | \begin{array}{l} | ||
+ | \vec{v}^{\,C}_{20} = -v_0\,\vec{\imath}_0 | ||
+ | \\ | ||
+ | \\ | ||
+ | \vec{v}^{\,C}_{20} = \vec{v}^{\,D}_{20} + \vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{DC} | ||
+ | = | ||
+ | (\omega_{20}\,\vec{\jmath})\times(R\,\vec{k}) = | ||
+ | \omega_{20}R\,\vec{\imath}_0 | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right| | ||
+ | \Longrightarrow | ||
+ | \vec{\omega}_{20} = -\dfrac{v_0}{R}\,\vec{\jmath}_0 | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | El plano realiza una rotación de eje permanente <math>OZ_0 </math>, con velocidad angular constante. La velocidad del movimiento {01} de cualquier punto del eje es nula en todo instante. Por tanto | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \vec{\omega}_{01} = \Omega\,\vec{k}_0\qquad \vec{v}^{\,O_1}_{01} = \vec{0}, | ||
+ | \qquad \vec{a}^{\,O_1}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,O_1}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0} | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
Línea 39: | Línea 63: | ||
</math> | </math> | ||
</center> | </center> | ||
+ | Examinemos cada uno de los tres términos | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \vec{a}^{\,D}_{20} = \vec{a}^{\,C}_{20} + \vec{\alpha}_{20}\times\overrightarrow{CD} + | ||
+ | \vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CD}) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | El primer sumando es cero. El segundo también, pues | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \vec{\alpha}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \vec{0} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Sólo queda el tercero, y tenemos | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \vec{\omega}_{20}\times(\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{CD}) | ||
+ | = | ||
+ | \dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{k}_0 | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Entonces | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \vec{a}^{\,D}_{20} = \dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{k}_0 | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Para el segundo sumando tenemos | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \vec{a}^{\,D}_{01} = \vec{a}^{\,O_1}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{O_1D} + \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1D}) | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | El primer sumando es nulo. El segundo también, pues | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Para el tercer término tenemos | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1D}) | ||
+ | = | ||
+ | \vec{\omega}_{01}\times\left( (\Omega\,\vec{k}_0)\times(d\,\vec{\imath}_0)\right) | ||
+ | = | ||
+ | (\Omega\,\vec{k}_0)\times(\Omega d\,\vec{\jmath}_0) = -\Omega^2d\,\vec{\imath}_0 | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Por último, el tercer sumando es cero, pues <math>\vec{v}^{\,D}_{20}=\vec{0} </math>. Tenemos entonces | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \vec{a}^{\,D}_{21} = -\Omega^2d\,\vec{\imath}_0 + \dfrac{v_0^2}{R}\,\vec{k} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Para obtener las componentes intrínsecas de la aceleración necesitamos <math>\vec{v}^{\,D}_{21} </math>. Aplicamos composición de movimientos | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \vec{v}^{\,D}_{21} = \vec{v}^{\,D}_{20} + \vec{v}^{\,D}_{01} = \vec{v}^{\,D}_{01} | ||
+ | = | ||
+ | \vec{v}^{\,O_1}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{O_1D} = \Omega d\,\vec{\jmath}_0 | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | La aceleración tangencial es | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | a^{D}_{21T} = \dfrac{\vec{a}^{\,D}_{21}\cdot\vec{v}^{\,D}_{21}}{|\vec{v}^{\,D}_{21}|} = 0 | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | La aceleración normal es | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | a^{D}_{21N} = \sqrt{|\vec{a}^{\,D}_{21}| - a^D_{21T}} = |\vec{a}^{\,D}_{21}| = | ||
+ | \sqrt{\Omega^2d^4 + \dfrac{v_0^4}{R^2}} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | === Errores comunes detectados en la corrección === | ||
+ | |||
+ | ==== Aceleración del origen ==== | ||
+ | Mucha gente a dicho que la velocidad y la aceleración del punto <math>O_1 </math> son cero en todos los movimientos porque, como todo el mundo sabe, el origen no se mueve nunca. '''Esto no es correcto'''. El el punto geométrico <math>O_1 </math> hay '''3''' puntos, uno por cada sólido. Los del sólido "0" y "1" no se mueven, pero el del sólido "2" sí lo hace. Es decir | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \vec{v}^{\,O_1}_{21} \neq \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,O_1}_{21} \neq \vec{0} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | y también | ||
+ | <center> | ||
+ | <math> | ||
+ | \vec{v}^{\,O_1}_{20} \neq \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,O_1}_{20} \neq \vec{0} | ||
+ | </math> | ||
+ | </center> | ||
+ | |||
+ | ==== Derivar una velocidad ==== | ||
+ | Las velocidades que se obtienen con la composición de movimientos son instantáneas, no se pueden derivar. No se puede calcular <math>\vec{a}^{\,D}_{21} </math> derivando <math>\vec{v}^{\,D}_{21} </math>. | ||
+ | |||
+ | [[Categoría:Problemas de examen F1 GIA]] | ||
+ | [[Categoría:Problemas de movimiento relativo]] |
última version al 18:32 30 ene 2015
Contenido |
1 Enunciado
Un disco de radio R (sólido "2"), se mueve siempre contenido en el plano OX0Z0 (sólido "0"), rodando sin deslizar sobre el eje OX0; además, su centro C se desplaza en dicho plano dirigiéndose hacia el eje OZ0 con velocidad constante v0. El plano Π0 se mantiene siempre vertical y perpendicular al plano fijo Π1, pero girando en sentido antihorario alrededor del eje OZ0 = OZ1, con velocidad angular constante de valor Ω. Obtenga la expresión de la aceleración, medida desde el sólido "1", del punto del disco que ocupa la posición D de contacto con el plano Π1, en el instante en que el centro C se encuentra a una distancia d del eje OZ0,1. ¿Cuáles son las componentes intrínsecas de dicha aceleración?
2 Solución
3 Información cinemática del enunciado
El disco rueda sin deslizar sobre el eje OX0, por tanto
El centro del disco se mueve con velocidad
Además, este punto tiene siempre la misma velocidad en el movimiento {20}, porque es el centro del disco. Entonces
El movimiento {20} es una rotación instantánea, con el eje perpendicular al plano del disco, por tanto
Usamos el teorema de Chasles para calcular ω20
El plano realiza una rotación de eje permanente OZ0, con velocidad angular constante. La velocidad del movimiento {01} de cualquier punto del eje es nula en todo instante. Por tanto
3.1 Resolución con composición de movimientos
Usando el teorema de Coriolis podemos calcular como
Examinemos cada uno de los tres términos
El primer sumando es cero. El segundo también, pues
Sólo queda el tercero, y tenemos
Entonces
Para el segundo sumando tenemos
El primer sumando es nulo. El segundo también, pues
Para el tercer término tenemos
Por último, el tercer sumando es cero, pues . Tenemos entonces
Para obtener las componentes intrínsecas de la aceleración necesitamos . Aplicamos composición de movimientos
La aceleración tangencial es
La aceleración normal es
3.2 Errores comunes detectados en la corrección
3.2.1 Aceleración del origen
Mucha gente a dicho que la velocidad y la aceleración del punto O1 son cero en todos los movimientos porque, como todo el mundo sabe, el origen no se mueve nunca. Esto no es correcto. El el punto geométrico O1 hay 3 puntos, uno por cada sólido. Los del sólido "0" y "1" no se mueven, pero el del sólido "2" sí lo hace. Es decir
y también
3.2.2 Derivar una velocidad
Las velocidades que se obtienen con la composición de movimientos son instantáneas, no se pueden derivar. No se puede calcular derivando
.