Rapidez y tensión de un péndulo
De Laplace
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==Enunciado== | ==Enunciado== | ||
| - | Empleando la ley de conservación de la energía, determine la velocidad con la que un péndulo simple de masa <math>m</math> y longitud <math> | + | Empleando la ley de conservación de la energía, determine la velocidad con la que un péndulo simple de masa <math>m</math> y longitud <math>l</math> pasa por su punto más bajo, como función del ángulo máximo <math>\theta_0</math> con el que se separa de la vertical. |
Compare este resultado con el que se obtiene empleando la aproximación lineal. Determine el error relativo cometido con esta aproximación para <math>\theta_0=10^\circ</math>, <math>\theta_0=20^\circ</math>,… <math>\theta_0=90^\circ</math> | Compare este resultado con el que se obtiene empleando la aproximación lineal. Determine el error relativo cometido con esta aproximación para <math>\theta_0=10^\circ</math>, <math>\theta_0=20^\circ</math>,… <math>\theta_0=90^\circ</math> | ||
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La única energía potencial que debemos considerar es entonces la debida al peso. Tomando como origen de potencial el punto más bajo del péndulo, el valor de la energía potencial para una separación arbitraria <math>\theta</math> vale | La única energía potencial que debemos considerar es entonces la debida al peso. Tomando como origen de potencial el punto más bajo del péndulo, el valor de la energía potencial para una separación arbitraria <math>\theta</math> vale | ||
| - | <center><math>U = mgz = | + | <center><math>U = mgz = mgl(1-\cos(\theta))\,</math></center> |
Cuando consideramos oscilaciones del péndulo, el punto de máxima amplitud es uno de velocidad nula (alcanza un estado de reposo instantáneo a partir del cual se da la vuelta). Igualando la energía mecánica de este punto a la que tiene en elpunto mas bajo obtenemos la igualdad | Cuando consideramos oscilaciones del péndulo, el punto de máxima amplitud es uno de velocidad nula (alcanza un estado de reposo instantáneo a partir del cual se da la vuelta). Igualando la energía mecánica de este punto a la que tiene en elpunto mas bajo obtenemos la igualdad | ||
| - | <center><math>E = 0 + | + | <center><math>E = 0 + mgl(1-\cos\theta_0)=\frac{1}{2}m |\vec{v}|_\mathrm{max}^2+ 0\,</math></center> |
Obtenemos la velocidad máxima | Obtenemos la velocidad máxima | ||
| - | <center><math> | + | <center><math>|\vec{v}|_\mathrm{max} = \sqrt{2gl(1-\cos\theta_0)}</math></center> |
Esta expresión se puede simplificar un poco observando que | Esta expresión se puede simplificar un poco observando que | ||
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lo que da | lo que da | ||
| - | <center><math> | + | <center><math>|\vec{v}|_\mathrm{max} = 2\sqrt{gl}\,\mathrm{sen}\left(\frac{\theta_0}{2}\right)</math></center> |
==Valor aproximado== | ==Valor aproximado== | ||
Un péndulo obedece la [[Aplicaciones_de_las_leyes_de_Newton_(GIE)#Oscilaciones_no_lineales._P.C3.A9ndulo_simple|ecuación de movimiento]] | Un péndulo obedece la [[Aplicaciones_de_las_leyes_de_Newton_(GIE)#Oscilaciones_no_lineales._P.C3.A9ndulo_simple|ecuación de movimiento]] | ||
| - | <center><math>\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{g}{ | + | <center><math>\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{g}{l}\,\mathrm{sen}\,\theta</math></center> |
siendo <math>\theta</math> la inclinación respecto a la vertical (medida en radianes). Cuando esta separación es pequeña, se puede usar la aproximación lineal | siendo <math>\theta</math> la inclinación respecto a la vertical (medida en radianes). Cuando esta separación es pequeña, se puede usar la aproximación lineal | ||
| Línea 44: | Línea 44: | ||
lo que reduce la ecuación del péndulo a la de un oscilador armónico | lo que reduce la ecuación del péndulo a la de un oscilador armónico | ||
| - | <center><math>\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}\simeq-\frac{g}{ | + | <center><math>\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}\simeq-\frac{g}{l}\theta=-\omega^2\theta</math></center> |
Cuando parte del reposo, desde una cierta separación <math>\theta_0</math>, el ángulo sigue una ley cosenoidal | Cuando parte del reposo, desde una cierta separación <math>\theta_0</math>, el ángulo sigue una ley cosenoidal | ||
| - | <center><math>\theta = \theta_0\cos(\omega t)\,\qquad\omega = \sqrt{\frac{g}{ | + | <center><math>\theta = \theta_0\cos(\omega t)\,\qquad\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}</math></center> |
La velocidad lineal de la lenteja del péndulo es | La velocidad lineal de la lenteja del péndulo es | ||
| - | <center><math>v = | + | <center><math>v = l\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = -l\omega\theta_0\,\mathrm{sen}(\omega t)</math></center> |
El valor máximo (en módulo) de esta velocidad lo alcanza en el momento en que se encuentra en el punto más bajo | El valor máximo (en módulo) de esta velocidad lo alcanza en el momento en que se encuentra en el punto más bajo | ||
| - | <center><math> | + | <center><math>|\vec{v}|_\mathrm{max}=l\omega\theta_0= \sqrt{gl}\,\theta_0</math></center> |
==Comparación== | ==Comparación== | ||
El cociente entre el valor aproximado y el exacto es | El cociente entre el valor aproximado y el exacto es | ||
| - | <center><math>\frac{ | + | <center><math>\frac{|\vec{v}|_\mathrm{ap}}{|\vec{v}|_\mathrm{ex}} = \frac{\theta_0}{\sqrt{2(1-\cos\theta_0)}} = \frac{\theta_0/2}{\mathrm{sen}\,(\theta_0/2)}</math></center> |
donde hemos empleado la fórmula del ángulo mitad. Dado que | donde hemos empleado la fórmula del ángulo mitad. Dado que | ||
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El error relativo cometido en la aproximación es | El error relativo cometido en la aproximación es | ||
| - | <center><math>\epsilon = \frac{| | + | <center><math>\epsilon = \frac{\left||\vec{v}|_\mathrm{ap}-|\vec{v}|_\mathrm{ex}\right|}{|\vec{v}|_\mathrm{ex}} = \frac{\theta_0/2-\,\mathrm{sen}\,(\theta_0/2)}{\mathrm{sen}\,(\theta/2)}</math></center> |
Aplicando esta fórmula a los ángulos del enunciado | Aplicando esta fórmula a los ángulos del enunciado | ||
| Línea 132: | Línea 132: | ||
En el punto más bajo las dos fuerzas son normales a la trayectoria y por tanto la aceleración tangencial es nula (por ello la rapidez tiene un máximo). La partícula, no obstante, está acelerada, pues posee aceleración normal. La segunda ley de Newton nos da | En el punto más bajo las dos fuerzas son normales a la trayectoria y por tanto la aceleración tangencial es nula (por ello la rapidez tiene un máximo). La partícula, no obstante, está acelerada, pues posee aceleración normal. La segunda ley de Newton nos da | ||
| - | <center><math>m\vec{a} = \vec{ | + | <center><math>m\vec{a} = \vec{F}_T+m\vec{g}</math></center> |
| - | siendo <math>\vec{ | + | siendo <math>\vec{F}_T</math> la fuerza de reacción vincular, en este caso, la tensión de la cuerda. Despejando de aquí |
| - | <center><math>\vec{ | + | <center><math>\vec{F}_T = m\vec{a}-m\vec{g}</math></center> |
El término debido al peso vale | El término debido al peso vale | ||
| Línea 144: | Línea 144: | ||
mientras que el debido a la aceleración normal es | mientras que el debido a la aceleración normal es | ||
| - | <center><math>m\vec{a}=m\frac{|\vec{v}|^2}{R}\vec{N} = m\frac{ | + | <center><math>m\vec{a}=m\frac{|\vec{v}|^2}{R}\vec{N} = m\frac{4gl\mathrm{sen}^2(\theta_0/2)}{l}\vec{k} = 4mg\,\mathrm{sen}^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right)\vec{k}</math></center> |
lo que nos da la tensión | lo que nos da la tensión | ||
| - | <center><math>\vec{ | + | <center><math>\vec{F}_T= mg\left(1+4\,\mathrm{sen}^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)\vec{k} = mg(3-2\cos(\theta_0))\vec{k}</math></center> |
Esta tensión es siempre superior al peso. Sólo iguala al peso cuando la lenteja se encuentra en equilibrio en el punto inferior (<math>\theta_0=0</math>). | Esta tensión es siempre superior al peso. Sólo iguala al peso cuando la lenteja se encuentra en equilibrio en el punto inferior (<math>\theta_0=0</math>). | ||
| - | El valor máximo de la tensión se da para el caso que la partícula parta del extremo superior (<math>\theta_0=\pi</math>), en cuyo caso iguala a 5 veces el peso. Este resultado es coincidente con el que se obtiene para una [[ | + | El valor máximo de la tensión se da para el caso que la partícula parta del extremo superior (<math>\theta_0=\pi</math>), en cuyo caso iguala a 5 veces el peso. Este resultado es coincidente con el que se obtiene para una [[Anilla ensartada en aro|anilla ensartada en un aro]], ya que el movimiento de dicha anilla es el mismo que el de un péndulo (la condición de vínculo es la misma: distancia constante al centro de la circunferencia). |
===Ángulo máximo=== | ===Ángulo máximo=== | ||
| Línea 159: | Línea 159: | ||
En la posición de máxima separación de la vertical la aceleración normal es nula, por serlo la celeridad. No así la aceleración tangencial. Puesto que la fuerza de reacción vincular es puramente normal a la trayectoria tenemos las ecuaciones | En la posición de máxima separación de la vertical la aceleración normal es nula, por serlo la celeridad. No así la aceleración tangencial. Puesto que la fuerza de reacción vincular es puramente normal a la trayectoria tenemos las ecuaciones | ||
| - | <center><math>m\vec{a}=m\vec{g}+\vec{ | + | <center><math>m\vec{a}=m\vec{g}+\vec{F}_T\quad\Rightarrow\quad\begin{cases}m\vec{a}_t = m\vec{a} = m\vec{g}_\parallel & \\ m\vec{a}_n = \vec{0} = m\vec{g}_\perp + \vec{F}_T & \end{cases}</math></center> |
siendo <math>\vec{g}_\parallel</math> y <math>\vec{g}_\perp</math> las componentes de la gravedad en la dirección tangente a la trayectoria y en la perpendicular a ella. | siendo <math>\vec{g}_\parallel</math> y <math>\vec{g}_\perp</math> las componentes de la gravedad en la dirección tangente a la trayectoria y en la perpendicular a ella. | ||
| Línea 165: | Línea 165: | ||
La tensión de la cuerda compensa entoces a la componente perpendicular de la gravedad | La tensión de la cuerda compensa entoces a la componente perpendicular de la gravedad | ||
<center> | <center> | ||
| - | <math>\vec{ | + | <math>\vec{F}_T=-m\vec{g}_\perp</math></center> |
y, en módulo, | y, en módulo, | ||
| - | <center><math> | + | <center><math>F_T = |m\vec{g}_\perp|=mg\left|\cos(\theta_0)\right|</math></center> |
En forma vectorial multiplicamos por el vector unitario en la dirección de la cuerda y hacia adentro | En forma vectorial multiplicamos por el vector unitario en la dirección de la cuerda y hacia adentro | ||
| - | <center><math>\vec{ | + | <center><math>\vec{F}_T=mg\cos(\theta_0)\left(-\mathrm{sen}(\theta_0)\vec{\imath}+\cos(\theta_0)\vec{k}\right)</math></center> |
<center>[[Archivo:tension-funcion-angulo.png]]</center> | <center>[[Archivo:tension-funcion-angulo.png]]</center> | ||
| Línea 179: | Línea 179: | ||
En módulo, esta tensión es siempre menor que el peso, salvo en el caso en que la partícula esté en equilibrio en el punto más bajo, en que se reduce al caso anterior. | En módulo, esta tensión es siempre menor que el peso, salvo en el caso en que la partícula esté en equilibrio en el punto más bajo, en que se reduce al caso anterior. | ||
| - | La tensión se anula si la masa alcanza una posición horizontal (<math>\theta_0=\pi/2</math>). Para ángulos máximos superiores, la tensión debe ir dirigida ''hacia afuera'' lo que es posible si se trata de una barra rígida (vínculo bilateral), pero no si se trata de una cuerda flexible (vínculo unilateral). Para una barra rígida y un ángulo <math>\theta_0=\pi</math> (extremo superior), la tensión vuelve a igualar al peso en módulo. Este caso está de nuevo de acuerdo con el sistema de una [[ | + | La tensión se anula si la masa alcanza una posición horizontal (<math>\theta_0=\pi/2</math>). Para ángulos máximos superiores, la tensión debe ir dirigida ''hacia afuera'' lo que es posible si se trata de una barra rígida (vínculo bilateral), pero no si se trata de una cuerda flexible (vínculo unilateral). Para una barra rígida y un ángulo <math>\theta_0=\pi</math> (extremo superior), la tensión vuelve a igualar al peso en módulo. Este caso está de nuevo de acuerdo con el sistema de una [[Anilla ensartada en aro|anilla ensartada en un aro]]. |
[[Categoría:Problemas de energía y leyes de conservación (GIE)]] | [[Categoría:Problemas de energía y leyes de conservación (GIE)]] | ||
última version al 18:33 28 nov 2014
Contenido |
1 Enunciado
Empleando la ley de conservación de la energía, determine la velocidad con la que un péndulo simple de masa m y longitud l pasa por su punto más bajo, como función del ángulo máximo θ0 con el que se separa de la vertical.
Compare este resultado con el que se obtiene empleando la aproximación lineal. Determine el error relativo cometido con esta aproximación para 
, 
,… 
Determine la tensión de la cuerda en el punto más bajo y en el punto de máxima separación de la vertical. en función del ángulo θ0
2 Valor exacto
La lenteja del péndulo está sometida a dos fuerzas: su peso y la tensión de la cuerda.
La tensión va siempre a lo largo de la propia cuerda y es por tanto perpendicular al desplazamiento en todo momento. Esto quiere decir que no realiza trabajo y no interviene en la ley de conservación de la energía.
La única energía potencial que debemos considerar es entonces la debida al peso. Tomando como origen de potencial el punto más bajo del péndulo, el valor de la energía potencial para una separación arbitraria θ vale
Cuando consideramos oscilaciones del péndulo, el punto de máxima amplitud es uno de velocidad nula (alcanza un estado de reposo instantáneo a partir del cual se da la vuelta). Igualando la energía mecánica de este punto a la que tiene en elpunto mas bajo obtenemos la igualdad
Obtenemos la velocidad máxima
Esta expresión se puede simplificar un poco observando que
lo que da
3 Valor aproximado
Un péndulo obedece la ecuación de movimiento
siendo θ la inclinación respecto a la vertical (medida en radianes). Cuando esta separación es pequeña, se puede usar la aproximación lineal
lo que reduce la ecuación del péndulo a la de un oscilador armónico
Cuando parte del reposo, desde una cierta separación θ0, el ángulo sigue una ley cosenoidal
La velocidad lineal de la lenteja del péndulo es
El valor máximo (en módulo) de esta velocidad lo alcanza en el momento en que se encuentra en el punto más bajo
4 Comparación
El cociente entre el valor aproximado y el exacto es
donde hemos empleado la fórmula del ángulo mitad. Dado que
esto quiere decir que la aproximación de oscilador armónico predice una velocidad mayor que la real. El periodo calculado con esta aproximación será entonces más pequeño que el exacto.
El error relativo cometido en la aproximación es
Aplicando esta fórmula a los ángulos del enunciado
| θ0 (°) | θ0 (rad) | 
| θ0 (°) | θ0 (rad) |
|
|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 0.1745 | 0.127 | 60 | 1.047 | 4.720 |
| 20 | 0.3491 | 0.510 | 70 | 1.222 | 6.501 |
| 30 | 0.5236 | 1.152 | 80 | 1.396 | 8.610 |
| 40 | 0.6981 | 2.060 | 90 | 1.571 | 11.07 |
| 50 | 0.8727 | 3.245 |
Vemos que, en general la aproximación es bastante buena y que incluso para ángulos tan grandes como 60° el error es inferior al 5 %.
5 Tensión
5.1 Punto inferior
En el punto más bajo las dos fuerzas son normales a la trayectoria y por tanto la aceleración tangencial es nula (por ello la rapidez tiene un máximo). La partícula, no obstante, está acelerada, pues posee aceleración normal. La segunda ley de Newton nos da
siendo 
la fuerza de reacción vincular, en este caso, la tensión de la cuerda. Despejando de aquí
El término debido al peso vale
mientras que el debido a la aceleración normal es
lo que nos da la tensión
Esta tensión es siempre superior al peso. Sólo iguala al peso cuando la lenteja se encuentra en equilibrio en el punto inferior (θ0 = 0).
El valor máximo de la tensión se da para el caso que la partícula parta del extremo superior (θ0 = π), en cuyo caso iguala a 5 veces el peso. Este resultado es coincidente con el que se obtiene para una anilla ensartada en un aro, ya que el movimiento de dicha anilla es el mismo que el de un péndulo (la condición de vínculo es la misma: distancia constante al centro de la circunferencia).
5.2 Ángulo máximo
En la posición de máxima separación de la vertical la aceleración normal es nula, por serlo la celeridad. No así la aceleración tangencial. Puesto que la fuerza de reacción vincular es puramente normal a la trayectoria tenemos las ecuaciones
siendo 
y 
las componentes de la gravedad en la dirección tangente a la trayectoria y en la perpendicular a ella.
La tensión de la cuerda compensa entoces a la componente perpendicular de la gravedad
y, en módulo,
En forma vectorial multiplicamos por el vector unitario en la dirección de la cuerda y hacia adentro
En módulo, esta tensión es siempre menor que el peso, salvo en el caso en que la partícula esté en equilibrio en el punto más bajo, en que se reduce al caso anterior.
La tensión se anula si la masa alcanza una posición horizontal (θ0 = π / 2). Para ángulos máximos superiores, la tensión debe ir dirigida hacia afuera lo que es posible si se trata de una barra rígida (vínculo bilateral), pero no si se trata de una cuerda flexible (vínculo unilateral). Para una barra rígida y un ángulo θ0 = π (extremo superior), la tensión vuelve a igualar al peso en módulo. Este caso está de nuevo de acuerdo con el sistema de una anilla ensartada en un aro.
