Base vectorial girada
De Laplace
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# Para el caso particular en que <math>\mathrm{tg}(\theta) = 3/4</math>, particularice las ecuaciones de transformación y exprese el vector <math>\vec{F}=10\vec{\imath}-15\vec{\jmath}+3\vec{k}</math> en la nueva base. | # Para el caso particular en que <math>\mathrm{tg}(\theta) = 3/4</math>, particularice las ecuaciones de transformación y exprese el vector <math>\vec{F}=10\vec{\imath}-15\vec{\jmath}+3\vec{k}</math> en la nueva base. | ||
| + | ==Base ortonormal dextrógira== | ||
| + | ===Base ortonormal=== | ||
| + | Para demostrar que se tra de una base ortonormal hay que probar que son unitarios y ortogonales entre sí, es decir | ||
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| + | <center><math>\vec{u}_i\cdot\vec{u}_k=\begin{cases}1 & i = k \\ 0 & i\neq k\end{cases}</math></center> | ||
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| + | Calculamos entonces los productos escalares: | ||
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| + | *De <math>\vec{u}_1</math> consigo mismo | ||
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| + | <center><math>\vec{u}_1\cdot\vec{u}_1=\cos^2(\theta)+\mathrm{sen}^2(\theta) = 1</math></center> | ||
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| + | *De <math>\vec{u}_1</math> con <math>\vec{u}_2</math> (y viceversa, por la conmutatividad) | ||
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| + | <center><math>\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2=\vec{u}_2\cdot\vec{u}_1=\cos(\theta)(-\mathrm{sen}(theta))+\mathrm{sen}(\theta)\cos(\theta) = 0</math></center> | ||
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| + | *De <math>\vec{u}_1</math> con <math>\vec{u}_3</math> (y viceversa). Es fácil ver que son ortogonales ya que <math>\vec{u}_1</math> no tiene componente en <math>\vec{k}</math> | ||
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| + | <center><math>\vec{u}_1\cdot\vec{u}_3=\vec{u}_3\cdot\vec{u}_1=\cos(\theta)(0)+\mathrm{sen}(\theta)\cdot 0 +0\cdot 1 = 0</math></center> | ||
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| + | *De <math>\vec{u}_2</math> consigo mismo | ||
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| + | <center><math>\vec{u}_2\cdot\vec{u}_2=(-\mathrm{sen}(\theta))^2+\cos^2(\theta) = 1</math></center> | ||
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| + | *De <math>\vec{u}_2</math> con <math>\vec{u}_3</math> (y viceversa). Se anula el producto escalar por la misma razón que el de <math>\vec{u}_1</math> con <math>\vec{u}_3</math> | ||
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| + | <center><math>\vec{u}_2\cdot\vec{u}_3=\vec{u}_3\cdot\vec{u}_2=-\mathrm{sen}(\theta)(0)+\cos(\theta)\cdot 0 +0\cdot 1 = 0</math></center> | ||
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| + | *De <math>\vec{u}_3</math> consigo mismo | ||
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| + | <center><math>\vec{u}_3\cdot\vec{u}_3=\vec{k}\cdot\vec{k} = 1</math></center> | ||
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| + | ==Transformación inversa== | ||
| + | ==caso particular== | ||
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Revisión de 10:39 2 oct 2014
Contenido |
1 Enunciado
Considere la terna de vectores
- Pruebe que constituyen una base ortonormal dextrógira. ¿Cómo están situados estos vectores?
- Halle la transformación inversa, es decir, exprese
como combinación de 
.
- Para el caso particular en que tg(θ) = 3 / 4, particularice las ecuaciones de transformación y exprese el vector
en la nueva base.
2 Base ortonormal dextrógira
2.1 Base ortonormal
Para demostrar que se tra de una base ortonormal hay que probar que son unitarios y ortogonales entre sí, es decir
Calculamos entonces los productos escalares:
- De
consigo mismo
- De con
(y viceversa, por la conmutatividad)
- De con
(y viceversa). Es fácil ver que son ortogonales ya que no tiene componente en 
- De consigo mismo
- De con (y viceversa). Se anula el producto escalar por la misma razón que el de con
- De consigo mismo
