Vectores en física. Coordenadas y componentes

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 10:24 1 oct 2014

Contenido

1 Sistemas de referencia
2 Distancias
- 2.1 Entre dos puntos
- 2.2 De un punto a una recta
3 Presentación del tema

1 Sistemas de referencia

1.1 Definición

Los puntos del espacio pueden etiquetarse mediante letras, O, P, Q,… Sin embargo, para operar con ellos, es conveniente emplear coordenadas, que no son más que etiquetas numéricas que identifican cada punto de forma unívoca.

Existen muchos sistemas de coordenadas posibles. Las más sencillas son las coordenadas cartesianas

Dado un punto del espacio, O, que tomamos como origen de coordenadas, tomamos tres planos que pasan por dicho punto y que sean ortogonales entre sí, que denominaremos XY, XZ e YZ. Definimos entonces las coordenadas cartesianas de cualquier otro punto como las distancias (con signo), $x$ , $y$ , $z$ a estos planos coordenados ( $x$ la distancia al YZ, $y$ al XZ, y $z$ al XY).

Los planos se cortan en tres rectas, también ortogonales entre sí, que denominamos ejes de coordenadas OX, OY y OZ (o simplemente X, Y y Z).

Los vectores unitarios tangentes a estos ejes forman una base ortonormal que denotamos como $\{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}$ .

Por ser ortonormales, verifican

$\begin{array}{ccccc} \vec{\imath}\cdot\vec{\imath}=1 & \qquad & \vec{\jmath}\cdot\vec{\jmath}=1 & \qquad & \vec{k}\cdot\vec{k}=1 \\ \vec{\imath}\cdot\vec{\jmath}=0 & \qquad & \vec{\imath}\cdot\vec{k}=0 & \qquad & \vec{\jmath}\cdot\vec{k}=0 \end{array}$

o, en forma de tabla:

$\cdot\,$	$\vec{\imath}$	$\vec{\jmath}$	$\vec{k}$
$\vec{\imath}$	1	0	0
$\vec{\jmath}$	0	1	0
$\vec{k}$	0	0	1

Esta base canónica es además dextrógira, esto es, verifica la regla de la mano derecha cuando los vectores se colocan en el orden $\{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}$ . Empleando el producto vectorial, esto se expresa

$\vec{\imath} \times \vec{\jmath} = \vec{k}$

y análogamente para el resto de productos: positivo si se gira en sentido antihorario y negativo si se va en sentido horario en la figura. En forma de tabla:

$\times\,$	$\vec{\imath}$	$\vec{\jmath}$	$\vec{k}$
$\vec{\imath}$	$\vec{0}$	$\vec{k}$	$-\vec{\jmath}$
$\vec{\jmath}$	$-\vec{k}$	$\vec{0}$	$\vec{\imath}$
$\vec{k}$	$\vec{\jmath}$	$-\vec{\imath}$	$\vec{0}$

1.2 Componentes de un vector

Una vez definida la base canónica, todo vector libre o ligado puede descomponerse de forma única en una parte paralela a $\vec{\imath}$ , una paralela a $\vec{\jmath}$ y otra paralela a $\vec{k}$

$\vec{F}=F_x\vec{\imath}+F_y\vec{\jmath}+F_z\vec{k}$

Donde cada una de las componentes $F x$ , $F y$ y $F z$ puede hallarse, según hemos visto, con ayuda del producto escalar

$F_x = \vec{F}\cdot\vec{\imath}$ $F_y = \vec{F}\cdot\vec{\jmath}$ $F_z = \vec{F}\cdot\vec{k}$

En Física es habitual trabajar simultáneamente con más de un sistema de referencia (por ejemplo, al describir del movimiento de un observador respecto a otro). Puesto que las componentes de un vector dependen de la base que se emplee para describirlo, es importante escribir los vectores como en la expresión anterior y NO en la forma $\vec{F}(F_x,F_y,F_z)$ , ya que en esta última forma se pierde la información sobre la base en que se trabaja. La única excepción la constituye el vector de posición de un punto del espacio.

1.3 Vector de posición

La posición de cualquier punto P puede expresarse mediante su vector de posición, que es aquél que tiene como origen el de coordenadas y como extremo el punto P (es, por tanto, un vector ligado)

$\vec{r}_P =\overrightarrow{OP} =p_x\vec{\imath}+p_y\vec{\jmath}+p_z\vec{k}$

La posición del origen de coordenadas y la orientación de los ejes son arbitrarias. Por ello no hay que presuponer que, por ejemplo, “el eje Z es vertical”. Nadie se encuentra un eje Z por la calle. El eje Z será el que nosotros queramos que sea y si nos interesa que forme un ángulo de 37° respecto al suelo, pues así lo podemos tomar.

En forma abreviada, la posición del punto P se puede escribir en la forma $P (p x, p y, p z)$

La posición relativa del punto Q respecto al punto P la da el vector que tiene por origen P y por extremo Q. Es inmediato obtener las componentes de este vector en la base cartesiana, conocidas las coordenadas cartesianas del origen y del extremo. Basta restarle las primeras a las segundas. Si $P (p x, p y, p z)$ y $Q (q x, q y, q z)$ , el vector $\overrightarrow{PQ}$ es:

$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}= (q_x-p_x)\vec{\imath}+(q_y-p_y)\vec{\jmath}+(q_z-p_z)\vec{k}$

1.4 Expresión de las operaciones

1.4.1 Igualdad entre vectores

Dos vectores libres son equivalentes cuando tienen el mismo módulo, dirección y sentido. En términos de las componentes, dos vectores son equivalentes cuando son iguales componente a componente

$\begin{array}{ccc}\vec{F} & = & F_x\vec{\imath}+F_y\vec{\jmath}+F_z\vec{k}\\ \vec{G} & = & G_x\vec{\imath}+G_y\vec{\jmath}+G_z\vec{k}\end{array}\qquad\vec{F}=\vec{G}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{c}F_x = G_x \\ F_y = G_y \\ F_z = G_z\end{array}\right.$

En particular, un vector es nulo si y solo si son nulas cada una de sus componentes.

1.4.2 Suma de vectores

Para sumar dos vectores, basta con sumar las componentes respectivas

$\begin{array}{ccc}\vec{F} & = & F_x\vec{\imath}+F_y\vec{\jmath}+F_z\vec{k}\\ \vec{G} & = & G_x\vec{\imath}+G_y\vec{\jmath}+G_z\vec{k}\end{array}\qquad\vec{F}+\vec{G}=(F_x+G_x)\vec{\imath}+(F_y+G_y)\vec{\jmath}+(F_z+G_z)\vec{k}$

A la hora de sumar, hay que tener cuidado con sumar las componentes correspondientes al mismo vector de la base y tener en cuenta que alguna componente puede ser nula. Por ejemplo

$\begin{array}{ccc}\vec{F} & = & \vec{\imath}-\vec{\jmath}\\ \vec{G} & = & \vec{\jmath}+\vec{k}\end{array}\qquad\vec{F}+\vec{G}=\vec{\imath}+\vec{k}$

1.4.3 Producto por un escalar

Las componentes del producto de un vector por un escalar se obtienen multiplicando todas y cada una de ellas, por el escalar.

$\vec{p} = m\vec{v}= (mv_x)\vec{\imath}+(mv_y)\vec{\jmath}+(mv_z)\vec{k}$

1.4.4 Producto escalar

El producto escalar se halla desarrollando la expresión

$\vec{F}\cdot\vec{v}=(F_x\vec{\imath}+F_y\vec{\jmath}+F_z\vec{k})\cdot(v_x\vec{\imath}+v_y\vec{\jmath}+v_z\vec{k}) = F_xv_x\overbrace{\vec{\imath}\cdot\vec{\imath}}^{=1}+F_xv_y\overbrace{\vec{\imath}\cdot\vec{\jmath}}^{=0}+\cdots$

Como consecuencia de la ortonormalidad de la base, la expresión se reduce a

$\vec{F}\cdot\vec{v}=(F_x\vec{\imath}+F_y\vec{\jmath}+F_z\vec{k})\cdot(v_x\vec{\imath}+v_y\vec{\jmath}+v_z\vec{k}) = F_xv_x+F_yv_y+F_zv_z$

Conviene recordar que los productos son entre componentes correspondientes no “la primera por la primera más…” ya que es posible que alguna de ellas sea nula. Por ejemplo:

$\begin{array}{ccc}\vec{F} & = & \vec{\imath}-\vec{\jmath}\\ \vec{G} & = & \vec{\jmath}+\vec{k}\end{array}\qquad\vec{F}\cdot\vec{G}=-1$

A partir del producto escalar se obtiene la expresión para el módulo de un vector en función de sus componentes cartesianas

$|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}} = \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$

También permite determinar las componentes de un vector si éstas no se conocen previamente

$F_x = \vec{F}\cdot\vec{\imath}\qquad F_y = \vec{F}\cdot\vec{\jmath}\qquad F_z = \vec{F}\cdot\vec{k}$

Por ejemplo, si se nos dice que una fuerza tiene de módulo 10 N y forma un ángulo de 60° con la vertical, tendremos que la componente vertical de la fuerza vale

$F_z = \vec{F}\cdot\vec{k}=|\vec{F}||\vec{k}|\cos(\theta) = (10\,\mathrm{N})(1)\cos(\pi/3)=5\,\mathrm{N}$

1.4.5 Producto vectorial

Las componentes del producto vectorial se hallan de manera análoga a las del producto vectorial, desarrollando la expresión correspondiente y sustituyendo los productos vectoriales entre los vectores de la base. El resultado es

$\vec{a}\times\vec{b}=\left|\begin{matrix} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{matrix}\right|=$ $(a_yb_z-a_zb_y)\vec{\imath}+(a_zb_x-a_xb_z)\vec{\jmath}+(a_xb_y-a_yb_x)\vec{k}$

2 Distancias

2.1 Entre dos puntos

Si tenemos dos puntos P y Q, la distancia entre ellos es el módulo de su vector de posición relativo

$d(P,Q) = |\overrightarrow{PQ}| = |\vec{r}_Q-\vec{r}_P|$

A su vez el módulo de un vector se puede hallar a partir del producto escalar del vector por sí mismo

$|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PQ}}$

y usando la expresión del producto escalar en coordenadas cartesianas nos queda

$d(P,Q) = \overrightarrow{PQ}| = \sqrt{(q_x-p_x)^2+(q_y-p_y)^2+(q_z-p_z)^2}$

2.2 De un punto a una recta

Si tenemos una recta que pasa por un punto A y lleva la dirección de un vector $\vec{v}$ , sus puntos se puede esscribir en la forma

$\vec{r}(\lambda) = \vec{r}_A+\lambda \vec{v}\qquad -\infty < \lambda < \infty$

o usando la notación del vector de posición relativo

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OA}+\lambda\vec{v}$

Si ahora tenemos un punto Q no situado en la recta, la distancia de Q a la recta se mide sobre la perpendicular a ésta. Esta distancia es igual a

$d = |\overrightarrow{QP}||\mathrm{sen}(\beta)|$

siendo $β$ el ángulo que el vector de posición relativo $\overrightarrow{QP}$ forma con la recta (es decir, con el vector director $\vec{v}$ ). Por las propiedades del producto vectorial

$d = \frac{|\overrightarrow{QP}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}$

Es decir, basta con tomar un punto cualquiera de la recta (no tiene por qué ser el que está en la perpendicular) y hallar el vector de posición relativo respecto a Q. Su producto vectorial por el vector director de la recta (dividido por el módulo de éste) nos da la distancia de Q a la recta en cuestión.

3 Presentación del tema

[1] Presentación expuesta en clase

@@ Línea 191: / Línea 191: @@
 ==Presentación del tema==
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Vectores en física. Coordenadas y componentes

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1 Sistemas de referencia

1.1 Definición

1.2 Componentes de un vector

1.3 Vector de posición

1.4 Expresión de las operaciones

1.4.1 Igualdad entre vectores

1.4.2 Suma de vectores

1.4.3 Producto por un escalar

1.4.4 Producto escalar

1.4.5 Producto vectorial

2 Distancias

2.1 Entre dos puntos

2.2 De un punto a una recta

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