No Boletín - Dos varillas (Ex.Feb/14)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 16:47 24 mar 2014

Contenido

1 Enunciado
2 Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}
3 Velocidad {01} del punto C
4 Aceleración angular {21}
5 Aceleración {21} del punto C

1 Enunciado

La varilla rígida $AB\,$ (sólido "0"), de longitud $2L\,$ , está vinculada mediante un par cilíndrico al eje vertical $OZ_{1}\,$ del triedro fijo $OX_1Y_1Z_1\,$ (sólido "1"), de tal forma que dicha varilla se mantiene en todo instante perpendicular al eje $OZ_{1}\,$ . La varilla "0" rota alrededor del eje $OZ_{1}\,$ con velocidad angular constante $\Omega\,$ (en el sentido mostrado en la figura) y, simultáneamente, su extremo $A\,$ recorre el citado eje $OZ_{1}\,$ con celeridad constante $v_0\,$ (en el sentido indicado en la figura). Por otra parte, una segunda varilla rígida $CD\,$ (sólido "2"), de longitud $L\,$ , se encuentra articulada mediante un par de revolución al centro $C\,$ de la primera, de tal forma que la varilla "2" se mantiene siempre contenida en el plano perpendicular a la varilla "0" que pasa por $C\,$ . El movimiento {20} viene dado por la rotación de la varilla "2" alrededor del eje de la varilla "0" (eje $AX_{0}\,$ ) con velocidad angular constante $\Omega\,$ (en el sentido mostrado en la figura). Sea $\{\vec{\imath}_0, \vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,$ la base ortonormal asociada al triedro $AX_0Y_0Z_0\,$ (sólido "0") que se define en la figura.

Determine las siguientes magnitudes:

Velocidad $\vec{v}^{\, C}_{01}\,$
Aceleración angular $\vec{\alpha}_{21}\,$
Aceleración $\vec{a}^{\, C}_{21}\,$

2 Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

El movimiento de arrastre {01} (condicionado por un vínculo del tipo par cilíndrico) es un movimiento helicoidal alrededor de un eje fijo (eje permanente de rotación y mínimo deslizamiento). En concreto, el EPRMD{01} es el eje $OZ_1\equiv OZ_0\,$ . Para caracterizar el movimiento {01}, escribimos su reducción cinemática en el punto $A\,$ , es decir, los vectores $\vec{\omega}_{01}(t)\,$ y $\vec{v}^{\, A}_{01}(t)\,$ (cuyas direcciones, módulos y sentidos se deducen del enunciado y la figura):

$\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\Omega\,\vec{k}_0=\Omega\,\vec{k}_1 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=-v_0\,\vec{k}_0=-v_0\,\vec{k}_1 \end{array}\right.$

Por otra parte, el movimiento relativo {20} (condicionado por un vínculo del tipo par de revolución) es una rotación pura alrededor de un eje fijo (eje permanente de rotación). En concreto, el EPR{20} es el eje $AX_0\,$ . Para caracterizar el movimiento {20}, escribimos su reducción cinemática en el punto $C\,$ , es decir, los vectores $\vec{\omega}_{20}(t)\,$ y $\vec{v}^{\, A}_{20}(t)\,$ (la velocidad {20} de $C\,$ es nula por ser éste un punto del EPR{20}; mientras que la dirección, el módulo y el sentido de la velocidad angular {20} se deducen del enunciado y la figura):

$\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\Omega\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=\vec{0} \end{array}\right.$

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también las aceleraciones angulares y las aceleraciones de los puntos $A\,$ y $C\,$ , respectivamente, en los movimientos de arrastre y relativo:

$\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\Omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-v_0\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\Omega\,\vec{\imath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \end{array}\right.$

3 Velocidad {01} del punto C

La velocidad de arrastre $\vec{v}^{\, C}_{01}\,$ se determina utilizando la ecuación del campo de velocidades {01}:

$\vec{v}^{\, C}_{01}=\displaystyle\vec{v}^{\, A}_{01}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AC}=-v_0\,\vec{k}_0+\Omega\,\vec{k}_0\times L\,\vec{\imath}_0=\Omega L\,\vec{\jmath}_0-v_0\,\vec{k}_0$

4 Aceleración angular {21}

Determinamos $\vec{\alpha}_{21}\,$ aplicando la ley de composición de aceleraciones angulares:

$\vec{\alpha}_{21}=\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=\Omega\,\vec{k}_0\times \Omega\,\vec{\imath}_0=\Omega^2\,\vec{\jmath}_0$

5 Aceleración {21} del punto C

Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración absoluta $\vec{a}^{\, C}_{21}\,$ se calcula así:

$\vec{a}^{\, C}_{21}=\vec{a}^{\, C}_{20}+\vec{a}^{\, C}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, C}_{20}$

Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración relativa $\vec{a}^{\, C}_{20}\,$ (la cual es nula por pertenecer el punto $C\,$ al EPR{20}, es decir, por ser $C\,$ un punto fijo en el movimiento {20}):

$\vec{a}^{\, C}_{20}=\vec{0}$

la aceleración de arrastre $\vec{a}^{\, C}_{01}\,$ (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):

$\vec{a}^{\, C}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AC}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AC})=\Omega\,\vec{k}_0\times(\Omega\,\vec{k}_0\times L\,\vec{\imath}_0)=-\Omega^2 L\,\vec{\imath}_0$

y el término de Coriolis (el cual también es nulo por ser $C\,$ un punto fijo en el movimiento {20}):

$2\,\vec{\omega}_{01}\times\underbrace{\vec{v}^{\, C}_{20}}_{=\vec{0}}=\vec{0}$

Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración absoluta $\vec{a}^{\, C}_{21}\,$ :

$\vec{a}^{\, C}_{21}=\vec{a}^{\, C}_{01}=-\Omega^2 L\,\vec{\imath}_0$

@@ Línea 25: / Línea 25: @@
 </math></center>
-==Aceleración angular {21}==
+==Velocidad {01} del punto C==
-Determinamos <math>\vec{\alpha}_{21}\,</math> aplicando la ley de composición de aceleraciones angulares:
+La velocidad de arrastre <math>\vec{v}^{\, C}_{01}\,</math> se determina utilizando la ecuación del campo de velocidades {01}:
 <center><math>
-\vec{\alpha}_{21}=\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=\omega\,\vec{k}_0\times (-\Omega\,\vec{\imath}_0)=-\Omega\,\omega\,\vec{\jmath}_0
+\vec{v}^{\, C}_{01}=\displaystyle\vec{v}^{\, A}_{01}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AC}=-v_0\,\vec{k}_0+\Omega\,\vec{k}_0\times L\,\vec{\imath}_0=\Omega L\,\vec{\jmath}_0-v_0\,\vec{k}_0
 </math></center>
-==Velocidad instantánea {21} del punto A==
+==Aceleración angular {21}==
-Para determinar la velocidad absoluta <math>\vec{v}^{\, A}_{21}\,</math>, calculamos primero las velocidades relativa <math>\vec{v}^{\, A}_{20}\,</math> y de arrastre <math>\vec{v}^{\, A}_{01}\,</math> utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:
+Determinamos <math>\vec{\alpha}_{21}\,</math> aplicando la ley de composición de aceleraciones angulares:
 <center><math>
-\begin{array}{l}
+\vec{\alpha}_{21}=\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=\Omega\,\vec{k}_0\times \Omega\,\vec{\imath}_0=\Omega^2\,\vec{\jmath}_0
-\vec{v}^{\, A}_{20}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{20}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{OA}=-\Omega\,\vec{\imath}_0\times R\,\vec{\jmath}_0=-\Omega R\,\vec{k}_0 \\ \\
-\vec{v}^{\, A}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}=\omega\,\vec{k}_0\times R\,\vec{\jmath}_0=-\omega R\,\vec{\imath}_0
-\end{array}
-</math></center>
-y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades:
-<center><math>
-\vec{v}^{\, A}_{21}=\vec{v}^{\, A}_{20}+\vec{v}^{\, A}_{01}=-R\,(\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)
 </math></center>
-==Aceleración instantánea {21} del punto B==
+==Aceleración {21} del punto C==
-Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración absoluta <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math> se calcula así:
+Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración absoluta <math>\vec{a}^{\, C}_{21}\,</math> se calcula así:
 <center><math>
-\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}
+\vec{a}^{\, C}_{21}=\vec{a}^{\, C}_{20}+\vec{a}^{\, C}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, C}_{20}
 </math></center>
-Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración relativa <math>\vec{a}^{\, B}_{20}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):
-<center><math>
-\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{20}}_{\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\vec{0}}\times\,\overrightarrow{OB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{OB})=-\Omega\,\vec{\imath}_0\times(-\Omega\,\vec{\imath}_0\times R\,\vec{k}_0)=-\Omega^2 R\,\vec{k}_0
-</math></center>
-la aceleración de arrastre <math>\vec{a}^{\, B}_{01}\,</math> (la cual es nula por pertenecer el punto <math>B\,</math> al EPR{01}, es decir, por ser <math>B\,</math> un punto fijo en el movimiento {01}):
-<center><math>
-\vec{a}^{\, B}_{01}=\vec{0}
-</math></center>
-y el término de Coriolis (mediante su fórmula):
-<center><math>
-\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\vec{\omega}_{01}\times(\,\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{20}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{OB})=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\Omega\,\vec{\imath}_0\times R\,\vec{k}_0)=-2\,\Omega\,\omega R\,\vec{\imath}_0
-</math></center>
-Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración absoluta <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math>:
-<center><math>
-\vec{a}^{\, B}_{21}=\!\!\underbrace{\vec{a}^{\, B}_{20}}_{-\Omega^2 R\,\vec{k}_0}\!\!\!+\underbrace{\vec{a}^{\, B}_{01}}_{\vec{0}}+\,\underbrace{2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}}_{-2\,\Omega\,\omega R\,\vec{\imath}_0}=-\Omega R\,(2\,\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)
-</math></center>
-==Procedimiento alternativo==
-Podemos utilizar un procedimiento alternativo, el cual consiste en determinar primero la velocidad angular y la aceleración angular del movimiento {21}, así como la velocidad y la aceleración de un punto arbitrario en el movimiento {21}, y -a partir de estas cuatro magnitudes- calcular posteriormente las otras magnitudes {21} que se nos piden. La única ley de composición que utilizaremos con este procedimiento es la de velocidades angulares.
-Al ser los movimientos {01} y {20} rotaciones concurrentes (el EPR{01} y el EPR{20} se cortan en el punto <math>O\,</math>), sabemos que su composición (el movimiento {21}) es otra rotación cuyo eje también pasa por el punto de concurrencia. Quiere esto decir que el punto <math>O\,</math> pertenece permanentemente al EIR{21} y, por tanto, es un punto fijo en el movimiento {21}. Así que ya tenemos la velocidad y la aceleración de un punto en el movimiento {21} para todo instante de tiempo:
+Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración relativa <math>\vec{a}^{\, C}_{20}\,</math> (la cual es nula por pertenecer el punto <math>C\,</math> al EPR{20}, es decir, por ser <math>C\,</math> un punto fijo en el movimiento {20}):
 <center><math>
-\vec{v}^{\, O}_{21}(t)=\vec{0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{a}^{\, O}_{21}(t)=\vec{0}
+\vec{a}^{\, C}_{20}=\vec{0}
 </math></center>
-Por otra parte, podemos calcular la velocidad angular del movimiento {21} mediante la correspondiente ley de composición:
+la aceleración de arrastre <math>\vec{a}^{\, C}_{01}\,</math> (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {01}):
 <center><math>
-\vec{\omega}_{21}(t)=\vec{\omega}_{20}(t)+\vec{\omega}_{01}(t)=-\Omega\,\vec{\imath}_0+\omega\,\vec{k}_0
+\vec{a}^{\, C}_{01}=\underbrace{\vec{a}^{\, A}_{01}}_{\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\vec{0}}\times\,\overrightarrow{AC}\,+\,\vec{\omega}_{01}\times(\omega_{01}\times\overrightarrow{AC})=\Omega\,\vec{k}_0\times(\Omega\,\vec{k}_0\times L\,\vec{\imath}_0)=-\Omega^2 L\,\vec{\imath}_0
 </math></center>
-y, derivándola respecto al tiempo (con ayuda de la fórmula de Poisson), obtenemos la aceleración angular del movimiento {21}:
+y el término de Coriolis (el cual también es nulo por ser <math>C\,</math> un punto fijo en el movimiento {20}):
 <center><math>
-\vec{\alpha}_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_0+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\,\vec{\omega}_{21}=\underbrace{\left.\frac{\mathrm{d}(-\Omega\,\vec{\imath}_0+\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0}_{\vec{0}}+\,\,\omega\,\vec{k}_0\,\times\,(-\Omega\,\vec{\imath}_0\,+\,\,\omega\,\vec{k}_0)=-\Omega\,\omega\,\vec{\jmath}_0
+\,\vec{\omega}_{01}\times\underbrace{\vec{v}^{\, C}_{20}}_{=\vec{0}}=\vec{0}
 </math></center>
-Y, por último, determinamos <math>\vec{v}^{\, A}_{21}\,</math> y <math>\vec{a}^{\, B}_{21}\,</math> utilizando, respectivamente, las ecuaciones del campo de velocidades y del campo de aceleraciones del movimiento {21}:
+Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración absoluta <math>\vec{a}^{\, C}_{21}\,</math>:
 <center><math>
-\begin{array}{l}
+\vec{a}^{\, C}_{21}=\vec{a}^{\, C}_{01}=-\Omega^2 L\,\vec{\imath}_0
-\vec{v}^{\, A}_{21}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{21}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OA}=(-\Omega\,\vec{\imath}_0+\omega\,\vec{k}_0)\times R\,\vec{\jmath}_0=-R\,(\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0) \\ \\
-\vec{a}^{\, B}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{21}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\alpha}_{21}\times\,\overrightarrow{OB}\,+\,\vec{\omega}_{21}\times(\omega_{21}\times\overrightarrow{OB})=-\Omega\,\omega\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{k}_0\,+\,(-\Omega\,\vec{\imath}_0+\omega\,\vec{k}_0)\times[(-\Omega\,\vec{\imath}_0+\omega\,\vec{k}_0)\times\,R\,\vec{k}_0]=-\Omega R\,(2\,\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)
-\end{array}
 </math></center>
 [[Categoría:Problemas de movimiento relativo (G.I.T.I.)]]

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