No Boletín - Dos varillas (Ex.Feb/14)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 16:19 24 mar 2014

Contenido

1 Enunciado
2 Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}
3 Aceleración angular {21}
4 Velocidad instantánea {21} del punto A
5 Aceleración instantánea {21} del punto B
6 Procedimiento alternativo

1 Enunciado

La varilla rígida $AB\,$ (sólido "0"), de longitud $2L\,$ , está vinculada mediante un par cilíndrico al eje vertical $OZ_{1}\,$ del triedro fijo $OX_1Y_1Z_1\,$ (sólido "1"), de tal forma que dicha varilla se mantiene en todo instante perpendicular al eje $OZ_{1}\,$ . La varilla "0" rota alrededor del eje $OZ_{1}\,$ con velocidad angular constante $\Omega\,$ (en el sentido mostrado en la figura) y, simultáneamente, su extremo $A\,$ recorre el citado eje $OZ_{1}\,$ con celeridad constante $v_0\,$ (en el sentido indicado en la figura). Por otra parte, una segunda varilla rígida $CD\,$ (sólido "2"), de longitud $L\,$ , se encuentra articulada mediante un par de revolución al centro $C\,$ de la primera, de tal forma que la varilla "2" se mantiene siempre contenida en el plano perpendicular a la varilla "0" que pasa por $C\,$ . El movimiento {20} viene dado por la rotación de la varilla "2" alrededor del eje de la varilla "0" (eje $AX_{0}\,$ ) con velocidad angular constante $\Omega\,$ (en el sentido mostrado en la figura). Sea $\{\vec{\imath}_0, \vec{\jmath}_0,\vec{k}_0\}\,$ la base ortonormal asociada al triedro $AX_0Y_0Z_0\,$ (sólido "0") que se define en la figura.

Determine las siguientes magnitudes:

Velocidad $\vec{v}^{\, C}_{01}\,$
Aceleración angular $\vec{\alpha}_{21}\,$
Aceleración $\vec{a}^{\, C}_{21}\,$

2 Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

El movimiento de arrastre {01} (condicionado por un vínculo del tipo par cilíndrico) es un movimiento helicoidal alrededor de un eje fijo (eje permanente de rotación y mínimo deslizamiento). En concreto, el EPRMD{01} es el eje $OZ_1\equiv OZ_0\,$ . Para caracterizar el movimiento {01}, escribimos su reducción cinemática en el punto $A\,$ , es decir, los vectores $\vec{\omega}_{01}(t)\,$ y $\vec{v}^{\, A}_{01}(t)\,$ (cuyas direcciones, módulos y sentidos se deducen del enunciado y la figura):

$\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\Omega\,\vec{k}_0=\Omega\,\vec{k}_1 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=-v_0\,\vec{k}_0=-v_0\,\vec{k}_1 \end{array}\right.$

Por otra parte, el movimiento relativo {20} (condicionado por un vínculo del tipo par de revolución) es una rotación pura alrededor de un eje fijo (eje permanente de rotación). En concreto, el EPR{20} es el eje $AX_0\,$ . Para caracterizar el movimiento {20}, escribimos su reducción cinemática en el punto $C\,$ , es decir, los vectores $\vec{\omega}_{20}(t)\,$ y $\vec{v}^{\, A}_{20}(t)\,$ (la velocidad {20} de $C\,$ es nula por ser éste un punto del EPR{20}; mientras que la dirección, el módulo y el sentido de la velocidad angular {20} se deducen del enunciado y la figura):

$\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\Omega\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=\vec{0} \end{array}\right.$

Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también las aceleraciones angulares y las aceleraciones de los puntos $A\,$ y $C\,$ , respectivamente, en los movimientos de arrastre y relativo:

$\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\Omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-v_0\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\Omega\,\vec{\imath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \end{array}\right.$

3 Aceleración angular {21}

Determinamos $\vec{\alpha}_{21}\,$ aplicando la ley de composición de aceleraciones angulares:

$\vec{\alpha}_{21}=\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\vec{0}}+\underbrace{\vec{\alpha}_{01}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}=\omega\,\vec{k}_0\times (-\Omega\,\vec{\imath}_0)=-\Omega\,\omega\,\vec{\jmath}_0$

4 Velocidad instantánea {21} del punto A

Para determinar la velocidad absoluta $\vec{v}^{\, A}_{21}\,$ , calculamos primero las velocidades relativa $\vec{v}^{\, A}_{20}\,$ y de arrastre $\vec{v}^{\, A}_{01}\,$ utilizando las ecuaciones de los campos de velocidades correspondientes:

$\begin{array}{l} \vec{v}^{\, A}_{20}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{20}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{OA}=-\Omega\,\vec{\imath}_0\times R\,\vec{\jmath}_0=-\Omega R\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{01}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}=\omega\,\vec{k}_0\times R\,\vec{\jmath}_0=-\omega R\,\vec{\imath}_0 \end{array}$

y, a continuación, aplicamos la ley de composición de velocidades:

$\vec{v}^{\, A}_{21}=\vec{v}^{\, A}_{20}+\vec{v}^{\, A}_{01}=-R\,(\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)$

5 Aceleración instantánea {21} del punto B

Conforme a la ley de composición de aceleraciones (teorema de Coriolis), la aceleración absoluta $\vec{a}^{\, B}_{21}\,$ se calcula así:

$\vec{a}^{\, B}_{21}=\vec{a}^{\, B}_{20}+\vec{a}^{\, B}_{01}+2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}$

Necesitamos, por tanto, calcular previamente la aceleración relativa $\vec{a}^{\, B}_{20}\,$ (mediante la ecuación del campo de aceleraciones {20}):

$\vec{a}^{\, B}_{20}=\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{20}}_{\vec{0}}+\,\underbrace{\vec{\alpha}_{20}}_{\vec{0}}\times\,\overrightarrow{OB}\,+\,\vec{\omega}_{20}\times(\omega_{20}\times\overrightarrow{OB})=-\Omega\,\vec{\imath}_0\times(-\Omega\,\vec{\imath}_0\times R\,\vec{k}_0)=-\Omega^2 R\,\vec{k}_0$

la aceleración de arrastre $\vec{a}^{\, B}_{01}\,$ (la cual es nula por pertenecer el punto $B\,$ al EPR{01}, es decir, por ser $B\,$ un punto fijo en el movimiento {01}):

$\vec{a}^{\, B}_{01}=\vec{0}$

y el término de Coriolis (mediante su fórmula):

$2\,\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\, B}_{20}=2\,\vec{\omega}_{01}\times(\,\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{20}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{OB})=2\,\omega\,\vec{k}_0\times(-\Omega\,\vec{\imath}_0\times R\,\vec{k}_0)=-2\,\Omega\,\omega R\,\vec{\imath}_0$

Sustituyendo en la ley de composición de aceleraciones, obtenemos por fin la aceleración absoluta $\vec{a}^{\, B}_{21}\,$ :

$\vec{a}^{\, B}_{21}=\!\!\underbrace{\vec{a}^{\, B}_{20}}_{-\Omega^2 R\,\vec{k}_0}\!\!\!+\underbrace{\vec{a}^{\, B}_{01}}_{\vec{0}}+\,\underbrace{2\,\vec{\omega}_{01}\!\times\vec{v}^{\, B}_{20}}_{-2\,\Omega\,\omega R\,\vec{\imath}_0}=-\Omega R\,(2\,\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0)$

6 Procedimiento alternativo

Podemos utilizar un procedimiento alternativo, el cual consiste en determinar primero la velocidad angular y la aceleración angular del movimiento {21}, así como la velocidad y la aceleración de un punto arbitrario en el movimiento {21}, y -a partir de estas cuatro magnitudes- calcular posteriormente las otras magnitudes {21} que se nos piden. La única ley de composición que utilizaremos con este procedimiento es la de velocidades angulares.

Al ser los movimientos {01} y {20} rotaciones concurrentes (el EPR{01} y el EPR{20} se cortan en el punto $O\,$ ), sabemos que su composición (el movimiento {21}) es otra rotación cuyo eje también pasa por el punto de concurrencia. Quiere esto decir que el punto $O\,$ pertenece permanentemente al EIR{21} y, por tanto, es un punto fijo en el movimiento {21}. Así que ya tenemos la velocidad y la aceleración de un punto en el movimiento {21} para todo instante de tiempo:

$\vec{v}^{\, O}_{21}(t)=\vec{0}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{a}^{\, O}_{21}(t)=\vec{0}$

Por otra parte, podemos calcular la velocidad angular del movimiento {21} mediante la correspondiente ley de composición:

$\vec{\omega}_{21}(t)=\vec{\omega}_{20}(t)+\vec{\omega}_{01}(t)=-\Omega\,\vec{\imath}_0+\omega\,\vec{k}_0$

y, derivándola respecto al tiempo (con ayuda de la fórmula de Poisson), obtenemos la aceleración angular del movimiento {21}:

$\vec{\alpha}_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_0+\,\,\vec{\omega}_{01}\times\,\vec{\omega}_{21}=\underbrace{\left.\frac{\mathrm{d}(-\Omega\,\vec{\imath}_0+\omega\,\vec{k}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0}_{\vec{0}}+\,\,\omega\,\vec{k}_0\,\times\,(-\Omega\,\vec{\imath}_0\,+\,\,\omega\,\vec{k}_0)=-\Omega\,\omega\,\vec{\jmath}_0$

Y, por último, determinamos $\vec{v}^{\, A}_{21}\,$ y $\vec{a}^{\, B}_{21}\,$ utilizando, respectivamente, las ecuaciones del campo de velocidades y del campo de aceleraciones del movimiento {21}:

$\begin{array}{l} \vec{v}^{\, A}_{21}=\displaystyle\underbrace{\vec{v}^{\, O}_{21}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OA}=(-\Omega\,\vec{\imath}_0+\omega\,\vec{k}_0)\times R\,\vec{\jmath}_0=-R\,(\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0) \\ \\ \vec{a}^{\, B}_{21}=\underbrace{\vec{a}^{\, O}_{21}}_{\vec{0}}+\,\,\vec{\alpha}_{21}\times\,\overrightarrow{OB}\,+\,\vec{\omega}_{21}\times(\omega_{21}\times\overrightarrow{OB})=-\Omega\,\omega\,\vec{\jmath}_0\times R\,\vec{k}_0\,+\,(-\Omega\,\vec{\imath}_0+\omega\,\vec{k}_0)\times[(-\Omega\,\vec{\imath}_0+\omega\,\vec{k}_0)\times\,R\,\vec{k}_0]=-\Omega R\,(2\,\omega\,\vec{\imath}_0+\Omega\,\vec{k}_0) \end{array}$

@@ Línea 10: / Línea 10: @@
 ==Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}==
-Tanto el movimiento de arrastre {01} como el movimiento relativo {20} son rotaciones puras alrededor de sendos ejes fijos (ejes permanentes de rotación). En concreto, el EPR{01} es el eje <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>, y el EPR{20} es el eje <math>OX_0\,</math>. Para caracterizar estos dos movimientos elementales, vamos a determinar sus reducciones cinemáticas en el punto donde se cortan sus respectivos ejes de rotación (punto <math>O\,</math>).
+El movimiento de arrastre {01} (condicionado por un vínculo del tipo par cilíndrico) es un movimiento helicoidal alrededor de un eje fijo (eje permanente de rotación y mínimo deslizamiento). En concreto, el EPRMD{01} es el eje <math>OZ_1\equiv OZ_0\,</math>. Para caracterizar el movimiento {01}, escribimos su reducción cinemática en el punto <math>A\,</math>, es decir, los vectores <math>\vec{\omega}_{01}(t)\,</math> y <math>\vec{v}^{\, A}_{01}(t)\,</math> (cuyas direcciones, módulos y sentidos se deducen del enunciado y la figura):
+<center><math>
+\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\Omega\,\vec{k}_0=\Omega\,\vec{k}_1 \\ \\ \vec{v}^{\, A}_{01}(t)=-v_0\,\vec{k}_0=-v_0\,\vec{k}_1 \end{array}\right.
+</math></center>
-Las velocidades de arrastre <math>\vec{v}^{\, O}_{01}\,</math> y relativa <math>\vec{v}^{\, O}_{20}\,</math> son nulas por ser el punto <math>O\,</math> un punto fijo en ambos movimientos. Y los vectores velocidad angular <math>\vec{\omega}_{01}\,</math> y <math>\vec{\omega}_{20}\,</math> se deducen del enunciado (sus direcciones son las de los correspondientes ejes de rotación, sus módulos son las constantes especificadas, y sus sentidos son los indicados en la figura). Así pues, las reducciones cinemáticas de los movimientos {01} y {20} en el punto <math>O\,</math> son:
+Por otra parte, el movimiento relativo {20} (condicionado por un vínculo del tipo par de revolución) es una rotación pura alrededor de un eje fijo (eje permanente de rotación). En concreto, el EPR{20} es el eje <math>AX_0\,</math>. Para caracterizar el movimiento {20}, escribimos su reducción cinemática en el punto <math>C\,</math>, es decir, los vectores <math>\vec{\omega}_{20}(t)\,</math> y <math>\vec{v}^{\, A}_{20}(t)\,</math> (la velocidad {20} de <math>C\,</math> es nula por ser éste un punto del EPR{20}; mientras que la dirección, el módulo y el sentido de la velocidad angular {20} se deducen del enunciado y la figura):
 <center><math>
-\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{01}(t)=\omega\,\vec{k}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, O}_{01}(t)=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=-\Omega\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, O}_{20}(t)=\vec{0} \end{array}\right.
+\left\{\begin{array}{l} \vec{\omega}_{20}(t)=\Omega\,\vec{\imath}_0 \\ \\ \vec{v}^{\, C}_{20}(t)=\vec{0} \end{array}\right.
 </math></center>
-Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también las aceleraciones angulares y las aceleraciones del punto <math>O\,</math> en los movimientos de arrastre y relativo:
+Con vistas al cálculo de aceleraciones, resulta interesante determinar también las aceleraciones angulares y las aceleraciones de los puntos <math>A\,</math> y <math>C\,</math>, respectivamente, en los movimientos de arrastre y relativo:
 <center><math>
-\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, O}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-\Omega\,\vec{\imath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, O}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, O}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \end{array}\right.
+\left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\Omega\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, A}_{01}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, A}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(-v_0\,\vec{k}_1)}{\mathrm{d}t}\right|_1=\vec{0} \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \left|\begin{array}{l} \vec{\alpha}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}(\Omega\,\vec{\imath}_0)}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \\ \\ \vec{a}^{\, C}_{20}=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{v}^{\, C}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}\vec{0}}{\mathrm{d}t}\right|_0=\vec{0} \end{array}\right.
 </math></center>

No Boletín - Dos varillas (Ex.Feb/14)

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1 Enunciado

2 Caracterización de los movimientos elementales {01} y {20}

3 Aceleración angular {21}

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5 Aceleración instantánea {21} del punto B

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