Esfera conductora con dos huecos esféricos
De Laplace
(→Solución) |
(→Solución) |
||
| Línea 21: | Línea 21: | ||
En el hueco entre el conductor 1 y el 2 debemos resolver la ecuación de Laplace | En el hueco entre el conductor 1 y el 2 debemos resolver la ecuación de Laplace | ||
| - | <math>\nabla^2\phi=0</math> | + | <center><math>\nabla^2\phi=0</math></center> |
con las condiciones de contorno | con las condiciones de contorno | ||
Revisión de 19:57 3 dic 2008
1 Enunciado
Halle la energía almacenada en el sistema.
2 Solución
El problema se reduce a la determinación de los coeficientes de capacidad del sistema. Conocidos éstos, con los datos del problema pueden determinarse las cargas y potenciales restantes.
La forma más sencilla de determinar la relación Q—V es a través del circuito equivalente. Tenemos tres conductores: la esfera exterior (que denominaremos “2”), la esfera a potencial V0 (“1”) y la que está a tierra (“3”).
En el circuito, cada conductor representa a un nodo. En principio, entre cada par de conductores se encuentra un condensador 
, más los que conectan a cada uno con el infinito, 
. Sin embargo, el conductor 2 apantalla al 1 y al 3, tanto entre sí como con el infinito (no puede haber líneas de campo que vayan del 1 al 3 o al exterior), por tanto,
A su vez, el conductor 1 forma con el conductor 2 un condensador esférico, de radio interior R / 4 y exterior R / 2. Lo mismo ocurre entre el 3 y el 2. Aplicando la fórmula para la capacidad de un condensador esférico 
, resulta
Podemos demostrar este resultado. Para calcular el coeficiente C21 debemos suponer el conductor 1 (una de las esferas interiores) a potencial unidad y el resto a tierra. En este caso, no hay campo eléctrico ni en el exterior del conductor 2, ni en el hueco entre el 2 y el 3, por estar todas las superficies a tierra.
En el hueco entre el conductor 1 y el 2 debemos resolver la ecuación de Laplace
con las condiciones de contorno
siendo r1 la distancia medida desde el centro de la esfera interior.
Al existir simetría de revolución dentro del hueco, la solución de la ecuación de Laplace es
Imponiendo las condiciones de contorno
queda el potencial
La carga en la esfera interior, que por definición es el coeficiente C11 la hallamos a partir del flujo a través de una superficie que la envuelva.
siendo dΩ el diferencial de ángulo sólido. Esto nos da el coeficiente 
. Como este conductor 1 se encuentra en influencia total con el 2, 
. La capacidad equivalente entre los dos nodos será 
.
Por último queda por determinar la capacidad 
. Ésta corresponde a las líneas que van del conductor 2 al infinito. El problema exterior es equivalente al de una sola esfera, cuya capacidad (calculable a partir de la de un condensador esférico haciendo 
) vale
Con esto queda completada la relación entre cargas y capacidades. En general
En forma matricial
En nuestro problema, los datos son \[ Q_1=0\qquad V_2=V_0\qquad V_3=0 \] y esto nos da \[ 0=2\pi\varepsilon_0 R(4V_1-V_0)\quad\Rightarrow\quad V_1=\frac{V_0}{4} %\]\[ \quad Q_2=2\pi\varepsilon_0 R\left(V_0-\frac{V_0}{4}\right)=\frac{3\pi\varepsilon_0 R }{2}V_0 %\]\[ \quad Q_3=2\pi\varepsilon_0 R\left(0-\frac{V_0}{4}\right)=-\frac{\pi\varepsilon_0 R }{2}V_0 \] y ya están determinadas todas las incógnitas del problema.
Como alternativa, aprovechando el circuito equivalente al máximo, podemos emplearlo para determinar las cargas en los distintos conductores observando que, por estar los condensadores $\overline{C}_{11}$ y $\overline{C}_{13}$ conectados al conductor 1 y a tierra se encuentran en paralelo, formando un solo condensador de capacidad \dibujops{cap2-16} \[ C=2\pi\varepsilon_0 R+4\pi\varepsilon_0 R=6\pi\varepsilon_0 R \] Este condensador se encuentra en serie con el $\overline{C}_{12}$. La asociación tiene una capacidad \[ C_\mathrm{eq}=\frac{\overline{C}_{12}C}{C+\overline{C}_{12}}=\frac{3}{2}\pi\varepsilon_0 R \] Como la asociación está sometida a una tensión $V_0$, la carga en la placa positiva (el conductor 2) vale \[ Q_2=C_\mathrm{eq}V_0=\frac{3\pi\varepsilon_0 R}{2}V_0 \] A partir de aquí podemos calcular la tensión en el conductor 1, restando la caída de tensión en el condensador $\overline{C}_{12}$ %\hspace*{3.8cm} \[ V_1=V_0-\frac{Q_2}{\overline{C}_{12}}=V_0-\frac{3}{4}V_0=\frac{V_0}{4} \] La carga del conductor 3 la calculamos aplicando que equivale a la de la placa negativa del condensador $\overline{C}_{13}$, sometido a una tensión $V_0/4$ \[ Q_3=-\overline{C}_{13}\frac{V_0}{4}=-\frac{\pi\varepsilon_0 R}{2}V_0 \] \rule{1cm}{0cm}%resultando los valores ya conocidos.
Para hallar la energía, el camino más fácil es de nuevo el circuito equivalente. Ya conocidos las cargas y potenciales, la energía se calcula como \[ \Ene=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{Q_2}{V_2}+\frac{1}{2}Q_3V_3= \frac{1}{2}Q_2V_2=\frac{3\pi\varepsilon_0 R}{4}V_0^2 \] Obsérvese que los conductores $1$ y $3$ no contribuyen por anularse su carga o su potencial.
Esta energía puede también calcularse a partir de la suma de energías almacenadas en diferentes condensadores \[ \Ene=\frac{1}{2}\overline{C}_{11}V_1^2+\frac{1}{2}\overline{C}_{12}(V_1-V_2)^2+ \frac{1}{2}\overline{C}_{13}(V_1-V_3)^2%=\]\[ =\frac{4\pi\varepsilon_0 R}{2}\left(\frac{V_0}{4}\right)^2+\frac{2\pi\varepsilon_0 R}{2}\left(\frac{V_0}{4}-V_0\right)^2+ \frac{2\pi\varepsilon_0 R}{2}\left(\frac{V_0}{4}-0\right)^2= \]\[ =\frac{1}{8}\pi\varepsilon_0 R V_0^2+\frac{9}{16}\pi\varepsilon_0 R V_0^2+\frac{1}{16}\pi\varepsilon_0 R V_0^2=\frac{3}{4}\pi\varepsilon_0 RV_0^2 \]
