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Estática del sólido rígido

De Laplace

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Como ejemplo sencillo, tenemos el estudio del [[equilibrio de una barra apoyada]] en el suelo y en una pared.
Como ejemplo sencillo, tenemos el estudio del [[equilibrio de una barra apoyada]] en el suelo y en una pared.
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==Teorema de Varignon==
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==Teorema de las tres fuerzas==
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De entre los diferentes teoremas aplicables para la determinación de las condiciones de equilibrio, existe uno de especial utilidad, especialmente en el caso de figuras planas, ya que facilita la solución por métodos geométricos.
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Un corolario del [[Ecuaciones_de_la_dinámica_del_sólido_rígido#Teorema_de_Varignon|teorema de Varignon]] es que puesto que para que haya equilibrio la resultante de las fuerzas y de los momentos deben anularse, la condición para que un sólido sometido a tres fuerzas esté en equilibrio es que exista un punto P tal que las rectas soporte pasen por él.  
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:''Dadas varias fuerzas concurrentes el momento resultante de las distintas fuerzas es igual al momento de la resultante de ellas aplicada en el punto de concurrencia.''
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<center>[[Archivo:Equilibrio-barra-pared-con.png]]</center>
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Donde entendemos como fuerzas concurrentes aquellas cuyas rectas soporte (que pasan por el punto de aplicación y llevan la dirección de la fuerza) se cortan en un punto O.
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La demostración es la siguiente: tenemos <math>n</math> fuerzas concurrentes, <math>\vec{F}_1</math>, <math>\vec{F}_2</math>,... <math>\vec{F}_n</math>, aplicadas en los puntos <math>A_1<math>, <math>A_2</math>,... <math>A_n</math>. El momento resultante respecto a un punto O es
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De esta forma se anulan simultáneamente la resultante de las fuerzas y la de los momentos. Si este punto no existe, el sólido no puede estar en equilibrio.
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<center><math>\vec{M}_O=\sum_i \overrightarrow{OA}_i\times\vec{F}_i</math></center>
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Ahora bien, por pasar cada recta soporte por el punto de concurrencia P se cumple para cada una
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<center><math>\overrightarrow{PA}_i\times\vec{F}_i=\vec{0}</math></center>
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por ser vectores paralelos. Por tanto, para cada momento individual
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<center><math>\overrightarrow{OA}_i\times\vec{F}_i = (\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PA}_i)\times\vec{F}_i=\overrightarrow{OP}\times\vec{F}_i</math></center>
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y para la resultante
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<center><math>\vec{M}_O=\sum_i \overrightarrow{OP}\times\vec{F}_i=\overrightarrow{OP}\times\left(\sum_i\vec{F}_i\right)=\overrightarrow{OP}\times\vec{F}</math></center>
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Por tanto, el procedimiento para hallar el momento resultante consiste en llevar todas las fuerzas al punto de concurrencia, hallar la resultante de todas las fuerzas y luego calcular su momento respecto al punto O.
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===Teorema de las tres fuerzas===
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Un corolario de este teorema es que dado que la resultante de las fuerzas debe anularse, la condición para que un sólido sometido a tres fuerzas esté en equilibrio es que exista un punto P tal que las rectas soporte pasen por él. De esta forma se anulan simultáneamente la resultante de las fuerzas y la de los momentos. Si este punto no existe, el sólido no puede estar en equilibrio.
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==Ejemplos de estática del sólido==
==Ejemplos de estática del sólido==
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* Las diferentes fuerzas de reacción de una [[Equilibrio_de_una_tabla|mesa apoyada en dos caballetes]]
* Las diferentes fuerzas de reacción de una [[Equilibrio_de_una_tabla|mesa apoyada en dos caballetes]]
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* El posible equilibrio de una barra apoyada en una pared
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* El posible equilibrio de una barra [[Equilibrio_de_una_barra_apoyada|apoyada en una pared]]
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* La reacción de una [[Fuerza_sobre_una_barra#Barra_empotrada|barra empotrada]] a una fuerza aplicada.
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También son problemas de estática aquellos en que se estudia un movimiento inminente, es decir las situaciones en que cualquier incremento de las fuerzas aplicadas produce un deslizamiento, un [[Sistemas_simples_de_sólidos_rígidos#Vuelco_inminente|vuelco]] o un [[Sistemas_simples_de_sólidos_rígidos#Ley_de_la_palanca|giro]]
[[Categoría:Dinámica del sólido rígido (GIE)]]
[[Categoría:Dinámica del sólido rígido (GIE)]]

última version al 17:06 10 ene 2014

1 Introducción. Ecuaciones de la estática

La estática del sólido (y de los sistemas de sólidos) es el estudio de las condiciones en que un sólido o sistema permanece en reposo. Matemáticamente la expresión de la condición de equilibrio es muy simple. Puesto que se anulan tanto la aceleración del centro de masas como la aceleración angular del sólido, se cumple que

\vec{F}=\vec{0}\qquad\qquad\vec{M}_C=\vec{0}

Como consecuencia de esto, también se anula el momento de las fuerzas respecto a cualquier otro punto

\vec{M}_O=\vec{M}_C+\vec{F}\times\overrightarrow{CO}=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}

Sin embargo, la aplicación práctica de estas ecuaciones es mucho más complicada, ya que a menudo una o varias de las fuerzas que actúan sobre el sólido son fuerzas de reacción vincular, cuyo valor es desconocido a priori y que son incógnitas adicionales del problema. Normalmente, un problema de estática de sólidos se compone de varios elementos:

  • Determinación de la(s) posición(es) de equilibrio posibles, si existen.
  • Cálculo de las fuerzas y pares de reacción vincular.

En la determinación de la posición de equilibrio simplifica mucho la tarea el elegir un centro de reducción O adecuado respecto al cual calcular el momento de las fuerzas. En particular, para el contacto puntual de dos sólidos, suele ser lo más conveniente el elegir como centro de reducción el punto de contacto, ya que de esta forma se anula el momento de las fuerzas de reacción aplicadas en él.

Adicionalmente, suele existir una parte que requiere el estudio de la energía del sistema y del comportamiento de éste cuando se somete a una perturbación:

  • Determinación de la estabilidad de los puntos de equilibrio.

Como ejemplo sencillo, tenemos el estudio del equilibrio de una barra apoyada en el suelo y en una pared.

2 Teorema de las tres fuerzas

Un corolario del teorema de Varignon es que puesto que para que haya equilibrio la resultante de las fuerzas y de los momentos deben anularse, la condición para que un sólido sometido a tres fuerzas esté en equilibrio es que exista un punto P tal que las rectas soporte pasen por él.

Archivo:Equilibrio-barra-pared-con.png

De esta forma se anulan simultáneamente la resultante de las fuerzas y la de los momentos. Si este punto no existe, el sólido no puede estar en equilibrio.

3 Ejemplos de estática del sólido

Dentro de las múltiples aplicaciones de la estática, hay varias ilustradas en los problemas de la asignatura:

También son problemas de estática aquellos en que se estudia un movimiento inminente, es decir las situaciones en que cualquier incremento de las fuerzas aplicadas produce un deslizamiento, un vuelco o un giro

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